সৃজনশীলঃ ‘(1 + 2y)m…’ সিলেট বোর্ড ২০১৭ – দ্বিপদী বিস্তৃতি, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

প্রদত্ত বীজগাণিতিক রাশি = $(1+2y{)}^m$

$m=2n,(n\in z)$ হলে, $(1+2y{)}^m=(1+2y{)}^{2n}$

এখানে, 2n একটি জোড় সংখ্যা। :: (1+2y)

$\therefore (1+2y{)}^{2n}$ এর বিস্তৃতিতে মধ্যপদ থাকবে একটি। 

মধ্যপদটি হবে$(\frac{2n}{2}+1)$ তম বা (n+1) তম পদ।

$(n+1)$ তম পদ $={}^{2n}{C}_n\cdot (2y{)}^n$ 

$\begin{array}{cc}& =\frac{\left(2n\right)!}{n!(2n-n)!}{2}^n{y}^n\\ & =\frac{\left(2n\right)!}{n!n!}{2}^n{y}^n\\ & =\frac{1.2.3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\dots \dots .(2n-1)2n}{n!n!}{2}^n{y}^n\\ & =\frac{\{1.3\cdot 5\dots \dots .(2n-1\left)\right\}(2\cdot 4\cdot 6\dots \dots .2n)}{n!n!}{2}^n{y}^n\\ & =\frac{\{1.3\cdot 5\dots .(2n-1\left)\right\}\left\{\right(2.1)\cdot (2.2)\cdot (2.3)\dots .(2n\left)\right\}}{n!n!}{2}^2{y}^n\\ & =\frac{\{1.3\cdot 5\dots \dots .(2n-1\left)\right\}{2}^n(1.2\cdot 3\dots \dots .n)}{n!n!}{2}^n{y}^n\\ & =\frac{\{1.3.5\dots \dots .(2n-1\left)\right\}\cdot n!}{n!n!}{2}^{2n}{y}^n\\ & =\frac{1.3.5\dots \dots .(2n-1)}{n!}{2}^{2n}{y}^n\end{array}$

∴  রাশিটির বিস্তৃতিতে মধ্যপদের মান $\frac{1.3.5\dots ..(2n-1)}{n!}{2}^{2n}{y}^n$.

(দেখানো হলো)

প্রদত্ত বীজগাণিতিক রাশি $=(1+2y{)}^m$

m = 20 হলে, (1 + 2y)^m = (1 + 2y)²⁰ 

মনে করি, রাশিটির বিস্তৃতিতে ক্রমিক পদ দুইটি যথাক্রমে (r + 1) তম পদ

এবং (r + 2) তম পদ।

(r +1) তম পদ = ${}^{20}{C}_r\cdot (2y{)}^r={}^{20}{C}_r\cdot 2^r\cdot y^r$

(r + 2) তম পদ = ${}^{20}{C}_{r+1}\cdot (2y{)}^{r+1}={}^{20}{C}_{r+1}\cdot 2^{r+1}\cdot y^{r+1}$

বা, $\frac{{}^{20}{C}_r\cdot 2^r}{{}^{20}{C}_{r+1}\cdot 2^{r+1}}=\frac{11}{20}$
বা, $\frac{\frac{20!}{r!(20-r)!}\cdot 2^r}{\frac{20!}{(r+1)!(20-r-1)!}\cdot 2^r\cdot 2}=\frac{11}{20}$
বা, $\frac{\frac{20!}{r!(20-r)(20-r-1)!}}{20!}=\frac{11}{20}$
বা, $\frac{r+1}{2(20-r)}=\frac{11}{20}$
বা, $\frac{r+1}{40-2r}=\frac{11}{20}$
বা, $20r+20=440-22r$
বা, $20r+22r=440-20$
বা, $42r=420$
বা, $r=\frac{420}{42}=10$

∴ ক্রমিক পদ দুইটি যথাক্রমে (10+1) তম বা 11 তম পদ = ²⁰C₁₀(2y) ¹⁰ 

এবং (10+2) তম বা 12 তম পদ = ²⁰C₁₀(2y) ¹¹

 নির্ণেয় 11 তম পদ $={}^{20}{C}_{10}(2y{)}^{10}$ 

এবং 12 তম পদ $={}^{20}{C}_{11}(2y{)}^{11}$