সৃজনশীলঃ ‘10 cm ব্যাসার্ধের…’ নটরডেম কলেজ ২০২৪ – কাজ শক্তি ক্ষমতা, পদার্থবিজ্ঞান, পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্র (এইচএসসি)

নৌকার গুণটানার ক্ষেত্রে দাড়ের ভূমিকা নিম্নের চিত্রের মাধ্যমে ব্যাখ্যা করা হলো-

নৌকার গুণের টান F হলে এবং গুণটি নৌকার গতি অভিমুখের সাথে ৪ কোণে ক্রিয়াশীল হলে F cos 6 বলটি দ্বারা নৌকাটি সামনে গতিপ্রাপ্ত হবে এবং F sin 6 বলটি নৌকাটিকে সর্বদা তীর অভিমুখে নিতে চাইবে। এখন দাড় দ্বারা এই F sin ৪ বলটির বিপরীত দিকে এর সমান মানের বল প্রয়োগ করা গেলে F sin 6 বলটির প্রভাব নিষ্ক্রিয় হবে ফলে নৌকাটি তীরের সমান্তরালে সামনের দিকে গতিশীল থাকবে।

এখানে, গোলকের ভর, m = 3 kg

ব্যাসার্ধ, r = 10 cm = 0.1m

আনত তলের কোণ, θ = 60°

ঘর্ষণ বল, f = 11.44 N

ফাঁপা গোলকের জড়তার ভ্রামল। হলে,

$I=\frac{2}{3}{\mathrm{mr}}^2=\frac{2}{3}\times 3\times (0.1{)}^2=0.02{\mathrm{kgm}}^2$

AB আনত পথে গোলকটির ত্বরণ a হলে,

$\Sigma F=\mathrm{ma}$

বা, $\mathrm{mg}\sin \theta -f=\mathrm{ma}$
বা, $a=\frac{mg\sin \theta -f}{m}$
বা, $a=\frac{3\times 9.8\times \sin {60}^{\circ }-11.44}{3}$
বা, $a=4.674{\mathrm{ms}}^{-2}$

AB পথে গোলকটির কৌণিক ত্বরণ a হলে,

$a=r\alpha$

বা, $\alpha =\frac{a}{r}=\frac{4.674}{0.1}=46.74{\mathrm{rads}}^{-2}$
$\therefore \mathrm{AB}$ পথে গোলকের উপর ক্রিযাশীল টর্ক,

$\tau =I\alpha =0.02\times 46.74=0.9348\mathrm{Nm}$

অতএব, AB পথে গোলকের উপর ক্রিয়াশীল টর্কের মান 0.3948 Nm। 

গোলকটি A বিন্দু থেকে গড়িয়ে যেতে থাকলে AB, BC, CD পথে ঘর্ষণ বলের জন্য শক্তি ব্যয় হবে। এরপর যদি D বিন্দুতে পৌছাতে গোলকটির প্রয়োজনীয় শক্তি থাকে, তাহলেই গোলকটি D বিন্দুতে পৌঁছাতে পারবে। 

এখানে, $r=1m$
$A$ বিন্দুর উচ্চতা,
$h=3.34r=3.34m$
দূরত্ব, $\mathrm{BC}=3r=3m$
দূরত্ব, $\mathrm{CD}=\frac{1}{2}\times 2\pi r$
$=\pi r=3.1416m$
ঘর্ষণ বল, $f=11.44N$
দূরত্ব, $AB=\frac{h}{\sin {60}^{\circ }}$
$=\frac{3.34}{\sin {60}^{\circ }}$
$=3.86m$
গোলকের ভর, m=3kg

A বিন্দুতে গোলকটির বিভবশক্তি,
$U_A=\mathrm{mgh}=3\times 9.8\times 3.34$
$=98.196J$
A বিন্দুতে গোলকটির বেগ 0। তাই গতিশক্তি $K_A=0$
বিন্দুতে মোট শক্তি, $E_A=U_A+K_A$
$=(98.196+0)J$
$=98.196J$
$\mathrm{AB}$ পথে ঘর্ষণ বলের জন্য ব্যয়িত শক্তি,
$W_1=f\times \mathrm{AB}=11.44\times 3.86$
$=44.1584J$
BC পথে ঘর্ষণ বলের জন্য ব্যয়িত শক্তি,
$W_2=f\times \mathrm{BC}=11.44\times 3=34.32J$

$\mathrm{AB}$ ও $\mathrm{BC}$ পথে ব্যয়িত মোট শক্তি, $W=W_1+W_2$
$=(44.1584+34.32)J$
$=78.4784J$
$C$ বিন্দুতে গোলকটির অবশিষ্ট শক্তি, $E_C=E_A-W$
$=(98.196-78.4784)J$
$=19.7176J$
এখন, CD হলে ঘর্ষণ বলের জন্য ব্যয়িত শক্তি,
$W_B=f\times \mathrm{CD}=11.44\times 3.1416=35.94J$

D বিন্দুতে গোলকটির বিভব শক্টি,
$U_D=\mathrm{mgh}=\mathrm{mg}\left(2r\right)=3\times 9.8\times 2\times 1=58.8J$

সুতরাং, C থেকে D তে পৌছাত্তে গোলকটির প্রয়োজনয়ি ন্যূনতম শক্তি, $E=W_B+U_D=(35.94+58.8)J=94.74J$
দেখা যাচ্ছে, $E_C<E$

সুতরাং, বলা যায়, C বিন্দুতে গোলকটির অবশিষ্ট শক্তি দিয়ে গোলকটির পক্ষে D বিন্দুতে উঠা সম্ভব নয়। তাই উদ্দীপকের গোলকটি D বিন্দুতে পৌছাতে পারবে না।