সৃজনশীলঃ ‘12 সে.মি., 16…’ কুমিল্লা বোর্ড ২০২৫ – ঘন জ্যামিতি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

দেওয়া আছে, তিনটি কঠিন গোলকের ব্যাস যথাত্রুমে 12, 16, r সে.মি
∴ তিনটি কঠিন লোহার গোলকের ব্যাসাধ যথাক্রমে $6,8,\frac{r}{2}$ সে.মি.
যেহেতু, এই তিনটি কঠিন লোহার গোলককে গলিয়ে 18-সে.মি. ব্যাস অর্থাৎ, 9 সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি কঠিন গোলক তৈরি করা হয়েছে।
অতএব, ঐ তিনটি কঠিন লোহার গোলকের আয়তনের সমষ্টি হবে 9 সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট কঠিন গোলকের আয়তনের সমান।

আমরা জানি, গোলকের আয়তন $=\frac{4}{3}\pi r^3$ ঘন একক

$\therefore 6,8$ ও $\frac{r}{2}$ সে.মি. ব্যাসার্ধের কঠিন লোহার গোলকের আয়তনের সমষ্টি,

$A=\{\frac{4}{3}\pi \times 6^3+\frac{4}{3}\pi \times 8^3+\frac{4}{3}\pi {\left(\frac{r}{2}\right)}^3\}$ ঘন সে.মি.
$=\frac{4}{3}\pi \times (6^3+8^3+\frac{r^3}{8})$ ঘন সে.মি.

এবং 9 সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট কঠিন গোলকের আয়তন,

$B=\frac{4}{3}\pi \times 9^3$ ঘন সে.মি.

প্রশ্নমতে, $A=B$
বা, $\frac{4}{3}\pi \times (6^3+8^3+\frac{r^3}{8})=\frac{4}{3}\pi \times 9^3$
বা, $6^3+8^3+\frac{r^3}{8}=9^3$
বা, $216+512+\frac{r^3}{8}=729$
বা, $\frac{r^3}{8}=729-216-512$
বা, $\frac{r^3}{8}=1$
বা, $r^3=8=2^3$

$\therefore r=2$

অতএব, r এর মান 2 সে.মি.। [Ans.]

দেওয়া আছে,
কঠিন গোলকের ব্যাস = 18 সে.মি.
∴ কঠিন গোলকের ব্যাসার্ধ, $r=\frac{18}{2}=9$ সে.মি.

যেহেতু, কঠিন গোলকটি সিলিন্ডার আকৃতির বাক্সে ঠিকভাবে এঁটে যায়। তাই, গোলকের ব্যাসার্ধ এবং সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ সমান হবে এবং গোলকের ব্যাস হবে, সিলিন্ডারটির উচ্চতার সমান।

∴ সিলিন্ডারটির উচ্চতা, $h=2r$ একক

$=2\times 9$সে.মি.
$=18$ সে.মি.

আমরা জানি, গোলকটির আয়তন $=\frac{4}{3}\pi r^3$ ঘন একক
$=\frac{4}{3}\pi \times 9^3$ ঘন সে.মি.
$=3053.63$ ঘন সে.মি. (প্রায়)

∴ সিলিন্ডারের আয়তন $=\pi r^{2}h$ ঘন একক

$=\pi \times 9^2\times 18$ ঘন সে.মি.
$=4580.44$ ঘন সে.মি. (প্রায়)

∴ অনধিকৃত অংশের আয়তন = সিলিন্ডারের আয়তন - গোলকের আয়তন

$=(4580.44-3053.63)$ ঘন সে.মি.
$=1526.81$ ঘন সে.মি. (প্রায়)

সুতরাং, বাক্সটির অনধিকৃত অংশের আয়তন 1526.81 ঘন সে.মি. (প্রায়) [Ans.]