সৃজনশীলঃ ‘১ম জোড়া A→=3i^−mj^+4k^…’ ২০২৫ – ভেক্টর, পদার্থবিজ্ঞান, পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্র (এইচএসসি)

$\overrightarrow{A}$ ও $\overrightarrow{B}$ দুটি ভেক্টর হলে,

আমরা জানি, $\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{B}=\mathrm{AB}\cos \theta$ এবং $|\overrightarrow{A}\times \overrightarrow{B}|=\mathrm{AB}\sin \theta$ 

যদি $\theta ={45}^{\circ }$ হয় তবে, $\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{B}=\frac{\mathrm{AB}}{\sqrt{2}}$

এবং $\overrightarrow{A}\times \overrightarrow{B}|=\frac{\mathrm{AB}}{\sqrt{2}}$

অর্থাৎ, $\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{B}=|\overrightarrow{A}\times \overrightarrow{B}|$

সুতরাং, বলা যায়, দুটি ভেক্টরের মধ্যবর্তী কোণ 45° হলে এদের ভেক্টর গুণফল ও স্কেলার গুণফলের মান সমান হবে।

উদ্দীপক হতে, $\begin{array}{cc}& \overrightarrow{A}=3\hat{i}-m\hat{j}+4\hat{k}\\ & \overrightarrow{B}=4\hat{i}+4\hat{j}-\hat{k}\end{array}$

এবং $\overrightarrow{A}\times \overrightarrow{B}=\left|\begin{array}{ccc}\hat{i}& \hat{j}& \hat{k}\\ 3& -m& 4\\ 4& 4& -1\end{array}\right|$

$\begin{array}{cc}& =\hat{i}(m-16)-\hat{j}(-3-16)+\hat{k}(12+4m)\\ & =(m-16\hat{i}+19\hat{j}+(4m+12\hat{k}\\ \therefore |\overrightarrow{A}\times \overrightarrow{B}|& =\sqrt{(m-16{)}^2+{19}^2+(4m+12{)}^2}\\ & =\sqrt{m^2-32m+256+361+16m^2+96m+144}\\ & =\sqrt{17m^2+64m+761}\end{array}$

এখন, $\overrightarrow{A}$ ও $\overrightarrow{B}$ কোনো চতুর্ভুজের দুই বাহু হলে তার ক্ষেত্রফল হবে $|\overrightarrow{A}\times \overrightarrow{B}|$ বর্গ একক।

অতএব, ১ম জোড়া ভেক্টর দ্বারা গঠিত চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল $\sqrt{17m^2+64m+761}$ বর্গ একক।

১ম জোড়ার ক্ষেত্রে, $\begin{array}{cc}& \overrightarrow{A}=3\hat{i}-m\hat{j}+4\hat{k}\\ & \overrightarrow{B}=4\hat{i}+4\hat{j}-\hat{k}\end{array}$

$\overrightarrow{A}$ ও $\overrightarrow{B}$ লম্ব হলে,

$\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{B}=0$

 বা, $(3\hat{i}-\mathrm{mj}+4\hat{k})\cdot (4\hat{i}+4\hat{j}-\hat{k})=0$

বা, $12-4m-4=0$

বা, $4m=8$

$\therefore m=2$

$\overrightarrow{P}$ ও $\overrightarrow{Q}$ লম্ব হলে,

$\overrightarrow{P}\cdot \overrightarrow{Q}=0$

বা, $(7\hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k})\cdot (n\hat{i}-10\hat{j}+3\hat{k})=0$ 

বা, $7n-20+6=0$

বা, $7n=14$

$\therefore n=2$

যেহেতু m='n, অতএব $\overrightarrow{A}$ , $\overrightarrow{B}$ এর উপর এবং $\overrightarrow{P}$ , $\overrightarrow{Q}$ এর উপর লম্ব হলে উদ্দীপকের m ও n এর মান সমান হবে।