সৃজনশীলঃ ‘1x+1p−x=1q একটি দ্বিঘাত…’ ২০২৫ – বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে $\frac{1}{x}+\frac{1}{p-x}=\frac{1}{q}$

বা, $\frac{1}{x}+\frac{1}{p-x}-\frac{1}{q}=0$
বা, $\frac{q(p-x)+qx-x(p-x)}{qx(p-x)}=0$
বা, $\frac{pq-qx+qx-px+x^2}{qx(p-x)}=0$

$\therefore x^2-px+pq=0$

ধরি, সমীকরণটির মূনদ্বয় $\alpha ,\beta$

$\therefore \alpha +\beta =p$

এবং $\alpha \beta =pq$
প্রশ্নমতে, $\alpha -\beta =\pm r$
বা, $(\alpha -\beta {)}^2=r^2$ [বর্গ করে]
বা, $(\alpha +\beta {)}^2-4\alpha \beta =r^2$
বা, $p^2-4pq=r^2$
বা, $p^2-2.p.2q+(2q{)}^2=r^2+4q^2$
বা, $(p-2q{)}^2=r^2+4q^2$
বা, $p-2q=\pm \sqrt{r^2+4q^2}$
$\therefore p=2q\pm \sqrt{r^2+4q^2}$. (প্রমাণিত) 

দেওয়া আছে , $p=-1$ এবং $q=-1$
(খ) নং থেকে প্রাপ্ত সমীকরণ  $x^2-\mathrm{px}+\mathrm{pq}=0$ এ $p,q$ এর মান বসিয়ে পাই, $x^2-(-1)x+(-1)\cdot (-1)=0$

$\therefore x^2+x+1=0$$............\left(i\right)$

$\left(i\right)$ নং সমীকরণের মূলদ্বয়  $\alpha ,\beta$ হলে, মূল ও সহগের সম্পর্ক হতে পাই, 

$\alpha +\beta =-1$$............\left(ii\right)$

$\alpha \beta =1$ বা, $\beta =\frac{1}{\alpha }$ 

$\left(ii\right)$ নং হতে পাই, $\alpha +\frac{1}{\alpha }=-1$

বা, ${\alpha }^2=-\alpha -1$

এখন, ${\alpha }^3=\alpha \cdot {\alpha }^2=\alpha (-\alpha -1)=-{\alpha }^2-\alpha$ 

$=-(-\alpha -1)-\alpha =1$ 

$\therefore {\alpha }^4=\alpha \cdot {\alpha }^3=\alpha \cdot {\alpha }^3=\alpha \cdot 1=\alpha$ 

নির্ণেয় সমীকরণে মূলদ্বয়  ${\alpha }^4$ এবং $\text{boldsymbol}{\alpha }^5$ হলে মূলদ্বয়ের যোগফল  

$\begin{array}{cc}& ={\alpha }^4+{\alpha }^5\\ & =\alpha +(-\alpha -1)=-1\end{array}$ 

মূলদ্বয়ের গুণফল $={\alpha }^4{\alpha }^5$ 

$\begin{array}{cc}& =\alpha (-\alpha -1)\\ & =-{\alpha }^2-\alpha =-(-\alpha -1)-\alpha =1\end{array}$ 

অর্থাৎ নির্ণেয় সমীকরণ, $x^2$ - (মূলদ্বয়ের সমষ্টি) $x+$ মূলদ্বয়ের গুণফল = 0 

বा, $x^2-(-1)x+1=0$ 

$\therefore x^2+x+1=0$ 

নির্ণেয় সমীকরণ, $x^2+x+1=0$.