সৃজনশীলঃ ‘…’ ২০২৫ – বৃত্ত, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়াআছে, $C_1(6,-8)$কেন্দ্রবিশিষ্টবৃত্তের ব্যাসার্ধ = 13

এখন, $(6,-8)$ কেন্দ্র এবং 13 ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তের সমীকরণ,

$(x-6{)}^2+(y+8{)}^2={13}^2$

বা, $x^2-12x+36+y^2+16y+64=169$

$\therefore x^2+y^2-12x+16y-69=0$ .............. (i)

এবং$C_2$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের সমীকরণ,

$x^2+y^2-9x+12y-59=0$  .............. (ii)

(i) ও (ii) বৃত্তের সাধারণ জ্যা AB রেখার সমীকরণ,

$C_1-C_2=0$

বা, $-3x+4y-10=0$

বা, $3x-4y+10=0$  .............. (iii)

$C_1(6,-8)$হতে (iii)নংএরদূরত্ব

$C_{1}D=\frac{|3.6-4.(-8)+10|}{\sqrt{3^2+4^2}}$

$=\left|\frac{18+32+10}{\sqrt{25}}\right|=\frac{60}{5}=12$

$\Delta {\mathrm{AC}}_{1}D$ সমকোণী ত্রিভুজে, $C_1{D}^2+{\mathrm{AD}}^2={\mathrm{AC}}_1{}^2$

বা, ${12}^2+{\mathrm{AD}}^2={13}^2$

বা,$144+{\mathrm{AD}}^2=169$

বা, ${\mathrm{AD}}^2=169-144=25$

$\therefore \mathrm{AD}=5$

$\therefore \mathrm{AB}$ জ্যা এর দৈর্ঘ্য $=\mathrm{AB}=2\times \mathrm{AD}=2\times 5$একক$=10$একক

নির্ণেয় AB জ্যা এর দৈর্ঘ্য 10 একক।

এখানে, বৃত্তের কেন্দ্র C $(0,0)$ এবং ব্যাসার্ধ, $r=2$

$(0,0)$কেন্দ্রএবং 2 ব্যাসবিশিষ্ট বৃত্তের সমীকরণ,

$(x-0{)}^2+(y-0{)}^2=2^2$

বা, $x^2+y^2=4$

$\therefore x^2+y^2-4=0$.............. (i)

$P(-5,3)$ বিন্দুর সাপেক্ষে (ⅰ)নং বৃত্তের স্পর্শ জ্যা এর সমীকরণ,

$x\cdot x_1+y\cdot y_1-4=0$

বা, $-5x+3y-4=0$

বা, $5x-3y+4=0$ ............. (ii)

স্পর্শকেরদৈর্ঘ্য,

$\mathrm{PA}=\sqrt{(-5{)}^2+3^2-4}$

$=\sqrt{25+9-4}=\sqrt{30}$

$C(0,0)$ বিন্দু হতে (ii) নং স্পর্শ জ্যা AB এর দূরত্ব,

$CL=\frac{|0-0+4|}{\sqrt{5^2+3^2}}=\frac{4}{\sqrt{34}}$

চिত্রে, $\mathrm{PL}=\mathrm{PC}-\mathrm{CL}$.

$=\sqrt{(-5-0{)}^2+(3-0{)}^2}-\frac{4}{\sqrt{34}}$

$=\sqrt{5^2+3^2}-\frac{4}{\sqrt{34}}$

$=\sqrt{34}-\frac{4}{\sqrt{34}}$

$=\frac{34-4}{\sqrt{34}}$

$=\frac{30}{\sqrt{34}}$

সমকোণী $△$ APL-এ,

${\mathrm{AL}}^2+{\mathrm{PL}}^2={\mathrm{PA}}^2$

বা, ${\mathrm{AL}}^2={\mathrm{PA}}^2-{\mathrm{PL}}^2$

$=(\sqrt{30}{)}^2-{\left(\frac{30}{\sqrt{34}}\right)}^2$

$=30-\frac{900}{34}$

$=\frac{1020-900}{34}$

$=\frac{120}{34}$

${\mathrm{AL}}^2=\frac{60}{17}$

$\therefore AL=\frac{\sqrt{60}}{\sqrt{17}}$

$△\mathrm{APB}$ এর ক্ষেত্রফল $=2△\mathrm{APL}$ এর ক্ষেত্রফল

$=2\times \frac{1}{2}\mathrm{PL}\times \mathrm{AL}$

$=\frac{30}{\sqrt{34}}\times \frac{\sqrt{60}}{\sqrt{17}}$

$=\frac{30}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{17}}\times \frac{\sqrt{2}\cdot \sqrt{30}}{\sqrt{17}}$

$=\frac{30\sqrt{30}}{17}$ বর্গ একক

নির্ণেয় ক্ষেত্রফল $\frac{30\sqrt{30}}{17}$ বর্গ একক।