সৃজনশীলঃ ‘…’ ২০২৫ – কনিক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

স্থান দুইটির মধ্যবর্তী মোট দূরত্ন = AB
ধরি, ১ম অংশের জন্য দৃরত্ত $=a$, সময় $=t_1$, সমত্বরণ  $=x$ এবং ২য়া অशশের জন্য দূরত্ব  $=AB-a$, সময়  $=t_2$, সমমন্দন  $=y$ সময়, $t=t_1+t_2$ 
সমত্বরণের  ক্ষেত্রে :

$v=x{t}_1$

বা, $\frac{v}{x}=t_1$.$..........\left(1\right)$ 
এবং  $a=\frac{1}{2}{\mathrm{xt}}_1{}^2=\frac{1}{2}{\mathrm{xt}}_1\cdot t_1=\frac{1}{2}{\mathrm{vt}}_1$$..........\left(2\right)$ 
সমমন্দনের ক্ষেত্রে : $0=v-{\mathrm{yt}}_2$

বা, $v=y{t}_2$ 

$\therefore \frac{v}{y}=t_2$$..........\left(3\right)$ 

এবং $\mathrm{AB}-a={\mathrm{vt}}_2-\frac{1}{2}{\mathrm{yt}}_2{}^2$

$={\mathrm{vt}}_2-\frac{1}{2}{\mathrm{vt}}_2=\frac{1}{2}{\mathrm{vt}}_2$$..........\left(4\right)$ 

সমীকরণ  $\left(1\right)$ ও $\left(3\right)$ যোগ করে পাই, $t=v(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})$$..........\left(5\right)$ 

আবার, সমীকরণ $\left(2\right)$ ও $\left(4\right)$ যোগ করে পাই, $a+AB-a=\frac{1}{2}v(t_1+t_2)$
বা, $\mathrm{AB}=\frac{1}{2}vt$
বা, $v=\frac{AB}{t}$$..........\left(6\right)$ 
সমীকরণ $\left(5\right)$ ও $\left(6\right)$ নং হতত পাই, $t=\frac{2\times \mathrm{AB}}{t}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})$
$\therefore \frac{t^2}{2\mathrm{AB}}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$. (প্রমাণিত)

এখানে, $\alpha$ কোণে  ও v বেগে নিক্ষিপ্ত বস্তুটি  $t_1$ সময়ে $AB=R$ দূরত্ব অত্ক্রিম করে। আবার $\beta$ কোণে ও u বেগে নিক্ষিপ্ত বস্তুটি  $t_2$ সময়ে $\mathrm{AB}=R$ দূরত্ব অতিক্রম করে।
১ম ক্ষেত্রে, $\mathrm{AB}=R=\frac{v^2\sin 2\alpha }{g}$$.....\left(1\right)$
এবং $t_1=\frac{2v\sin \alpha }{g}$$.....\left(2\right)$
২য় ক্ষেত্রে, $AB=R=\frac{u^2\sin 2\beta }{g}$$.....\left(3\right)$

$t_2=\frac{2u\sin \beta }{g}$$.....\left(4\right)$

$\left(1\right)$ ও $\left(3\right)$ নং হতে পাই,

$\frac{v^2\sin 2\alpha }{g}=\frac{u^2\sin 2\beta }{g}$

বা, $\frac{v^2}{u^2}=\frac{\sin 2\beta }{\sin 2\alpha }=\frac{2\sin \beta \cos \beta }{2\sin \alpha \cdot \cos \alpha }$
বা, $\frac{v^2}{u^2}=\frac{\sin \beta \cos \beta }{\sin \alpha \cos \alpha }$$.....\left(5\right)$

$\left(2\right)$$÷\left(4\right)$ হতে পাই,

$\frac{t_1}{t_2}=\frac{v}{u}\frac{\sin \alpha }{\sin \beta }$

বা, $\frac{t_1{}^2}{t_2{}^2}=\frac{v^2}{u^2}\cdot \frac{{\sin }^2\alpha }{{\sin }^2\beta }$ [বর্গ করে]
বা, $\frac{t_1{}^2}{t_2{}^2}=\frac{\sin \beta \cdot \cos \beta \cdot {\sin }^2\alpha }{\sin \alpha \cdot \cos \alpha \cdot {\sin }^2\beta }=\frac{\sin \alpha \cos \beta }{\cos \alpha \sin \beta }$
বা, $\frac{t_1{}^2-t_2{}^2}{t_1{}^2+t_2{}^2}=\frac{\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta }{\sin \alpha \cdot \cos \beta +\cos \alpha \cdot \sin \beta }$ [বিয়োজন-যোজন করে]
$\therefore \frac{t_1{}^2-t_2{}^2}{t_1{}^2+t_2{}^2}=\frac{\sin (\alpha -\beta )}{\sin (\alpha +\beta )}$ (প্রমাণিত)