সৃজনশীলঃ ‘…’ ২০২৫ – সমতলে বস্তুকনার গতি, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

এখানে, সর্বোচ্চ উচ্চতা = H
B বিন্দু  হতে $p$ মিটার নিচে নামার পর বেগ  $=v$
$\therefore v^2=0^2+2\mathrm{gp}$
বা, $v^2=2\mathrm{gp}$
বা, $v=\sqrt{2\mathrm{gp}}$$..............\left(1\right)$
আবার, ধরি, ১ম বস্তু ও ২য় বস্তুর ক্ষেত্রে $t$ সময় পর ভূমিতে পৌছে। ১ম বস্মুর ক্ষেত্রে,
$(h-p)$ দূরত্ত নামার  বেলায় আদিবেগ  $=v$, সময় $=t$

$\therefore h-p=vt+\frac{1}{2}g{t}^2$

বা, $h-p=\sqrt{2gp}t+\frac{1}{2}g{t}^2$.$..............\left(2\right)$
২য় বস্তুর ক্ষেত্রে,
 ( $h-q$ ) দূরত্ব নামার বেলায়  আদিবেগ  $=0$, সময় $=t$
$\therefore h-q=0+\frac{1}{2}{\mathrm{gt}}^2$
বা, $h-q=\frac{1}{2}g{t}^2$$..............\left(3\right)$
সমীকরণ $\left(2\right)$ ও $\left(3\right)$ হতে পাই,

$h-p=\sqrt{2gp}t+h-q$

বা, $q-p=\sqrt{2gpt}$
বা, $(q-p{)}^2=2{\mathrm{gtt}}^2$
বা, $t^2=\frac{(q-p{)}^2}{2\mathrm{gp}}$
বা, $\frac{1}{2}g{t}^2=\frac{(q-p{)}^2}{4p}$$..............\left(4\right)$ 

$\left(4\right)$ এর মান $\left(3\right)$ এ বসিয়ে পাই,

$\therefore h-q=\frac{(q-p{)}^2}{4p}$

বা, $h=q+\frac{(q-p{)}^2}{4p}=\frac{4pq+q^2-2pq+p^2}{4p}$
বা, $h=\frac{p^2+2pq+q^2}{4p}$
বা, $h=\frac{(p+q{)}^2}{4p}$
বা, $4ph=(p+q{)}^2$
$\therefore (p+q{)}^2=4ph$. (দেখানো হলো) 

গ এ$△\mathrm{ABC}এ\mathrm{AB}=h$ এবং $\mathrm{AC}=d$ 
$△\mathrm{ABC}$ হতে, ${\mathrm{BC}}^2={\mathrm{AC}}^2+{\mathrm{AB}}^2$
বা, ${\mathrm{BC}}^2=d^2+h^2$

$\therefore \mathrm{BC}=\sqrt{h^2+d^2}$

দেওয়া আছে, নিক্ষেপ বেগ, $\mathrm{um}{s}^{-1}$

$\begin{array}{cc}\therefore & H=\frac{u^2}{2g}\\ \therefore & u^2=2\mathrm{gH}\end{array}$

ধরি, বস্তুটির  নিক্ষেপণ কোণ $\alpha$ এবং t সময় পর বস্তুটি  AB উচ্চতা অতিক্রম করবে।

$\therefore d=u\cos \alpha t$

বা, $t=\frac{d}{u\cos \alpha }$ 

এবং  $h=u\sin \alpha t-\frac{1}{2}g{t}^2$
বা, $h=u\sin \alpha \cdot \frac{d}{u}\sec \alpha -\frac{1}{2}g{(\frac{d}{u}\sec \alpha )}^2$
$\therefore h=d\tan \alpha -\frac{1}{2}g\frac{d^2}{u^2}{\sec }^2\alpha$
এখন, $h=d\tan \alpha -\frac{1}{2}g\frac{d^2}{2\mathrm{gH}}(1+{\tan }^2\alpha )$ [(i) নং হতে মান বসিয়ে]
বা, $4dH\tan \alpha -d^2-d^2{\tan }^2\alpha =4\mathrm{hH}$
$\therefore d^2{\tan }^2\alpha -4dH\tan \alpha +(4\mathrm{HH}+d^2)=0$.
বা, $\tan \alpha$ এর দ্বিঘাত সমীকরণ। প্রদত্ত শর্ত অনুযায়ী, দ্বিঘাত সমীকরণের নিশ্চায়ক শূন্য এর সমান অথবা বৃহত্তর হবে। 
অর্থাৎ, $(-4\mathrm{dH}{)}^2-4d^2(4\mathrm{hH}+d^2)\ge 0$
বা, $16d^2{H}^2-16d^{2}hH-4d^4\ge 0$
বা, $4H^2-4\mathrm{hH}-d^2\ge 0$
বা, $(2H{)}^2-2.2H.h+h^2\ge h^2+d^2$
বা, $(2H-h{)}^2\ge h^2+d^2$
বা, $2H-h\ge \pm \sqrt{h^2+d^2}$
বা, $2H\ge h\pm \sqrt{h^2+d^2}$
এখন, $h-\sqrt{h^2+d^2}<0$, যা গ্রহণযোগ্য নয়।

$\therefore 2H\ge h+\sqrt{h^2+d^2}$ 

বা , $2H\ge h+\mathrm{BC}$ 

$\therefore \mathrm{BC}+h\le 2H$ 

অর্থাৎ,  $C$ বিন্দু হতে নিক্ষিপ্ত বস্তুটি  $AB$ উচ্চতা অতিক্রম করবে যদি  

 $\mathrm{BC}+h\le 2H$ হয় । (দেখানো হলো)