সৃজনশীলঃ ‘…’ ২০২৫ – সরলরেখা, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

এখানে, $A(3,-3),B(-2,7)$ এবং $P(1,-1)$ তিনটি বিন্দু।

$AB$ রেখার সমীকরণ, $\frac{x-x_1}{x_1-x_2}=\frac{y-y_1}{y_1-y_2}$

 বা, $\frac{x-3}{3+2}=\frac{y+3}{-3-7}$

বা, $\frac{x-3}{5}=\frac{y+3}{-10}$

বা, $x-3=\frac{y+3}{-2}$

বা,$2x-6=-y-3$

বা, $2x-6+y+3=0$

$\therefore 2x+y-3=0.......\left(i\right)$

(i) নং রেখার লম্বরেখার সমীকরণ, $x-2y+k=0$

(ii) নং রেখাটি $P(1,-1)$ বিন্দুগামী,

$\therefore 1-2(-1)+k=0$

বা, $1+2+k=0$ বা, $3+k=0$

$\therefore k=-3$

$k$ এর মান (ii) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

 $x-2y-3=0$ ...... (iii)

এখন (i) নং এবং (iii) নং এর ছেদবিন্দুই হবে নির্ণেয় লম্বের পাদবিন্দু।

(i) নং কে 2 দ্বারা গুণ করে (iii) এর সাথে যোগ করি,

$4x+2y-6=0$
$x-2y-3=0$
$5x-9=0$
বা, $5x=9\therefore x=\frac{9}{5}$

বা, $5x=9\therefore x=\frac{9}{5}$

x এর মান (iii) নং এ বসিয়ে পাই,

$\frac{9}{5}-2y-3=0$

 বা, $2y=\frac{9}{5}-3=\frac{9-15}{5}=-\frac{6}{5}\therefore y=-\frac{3}{5}$

নির্ণেয় পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক $(x,y)=(\frac{9}{5},-\frac{3}{5})$.

দেওয়া আছে, সরলরেখার সমীকরণ, $y=x^{-}1.......\left(i\right)$

যাহা মূলবিন্দুগামী এবং রেখাটির ঢাল = 1.

$P(1,-1)$ বিন্দুগামী যেকোনো রেখার সমীকরণ,

$y+1=m(x-1)............\left(ii\right)$

যেখানে ঢাল = m 

যেহেতু (i) নং রেখার সাথে (ii) নং রেখা 30° কোণ উৎপন্ন করে

সেহেতু, $\tan {30}^{\circ }=\pm \frac{m-1}{1+m.1}$.

বা, $\frac{1}{\sqrt{3}}=\pm \frac{m-1}{1+m}$

$(+)$ চিহ্ন নিয়ে, $\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{m-1}{1+m}$

বা, $m+1=\sqrt{3}m-\sqrt{3}$

বা, $(\sqrt{3}-1)m=\sqrt{3}+1$

(-) চিহ্ন নিয়ে, $\frac{1}{\sqrt{3}}=-\frac{m-1}{m+1}$

বা, $m+1=-\sqrt{3}m+\sqrt{3}$

বা, $(\sqrt{3}+1)m=\sqrt{3}-1$

 $\begin{array}{cc}\therefore m& =\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}\\ & =\frac{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}\\ & =\frac{(\sqrt{3}+1{)}^2}{(\sqrt{3}{)}^2-1}\\ & =\frac{3+1+2\sqrt{3}}{2}=2+\sqrt{3}\end{array}$

$\begin{array}{cc}\therefore m& =\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}\\ & =\frac{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}\\ & =\frac{(\sqrt{3}-1{)}^2}{(\sqrt{3}{)}^2-1}\\ & =\frac{3+1-2\sqrt{3}}{2}=2-\sqrt{3}\end{array}$

(ii) নং সমীকরণে $m$ এর মান বসিয়ে পাই,

$m=2+\sqrt{3}$ হলে, $y+1=(2+\sqrt{3})(x-1)$

বা, $y+1=(2+\sqrt{3})x-2-\sqrt{3}$

$\therefore (2+\sqrt{3})x-y-(3+\sqrt{3})=0$

$m=2-\sqrt{3}$ হলে, $y+1=(2-\sqrt{3})(x-1)$

বা, $y+1=(2-\sqrt{3})x-2+\sqrt{3}$

বা, $(2-\sqrt{3})x-y-1-2+\sqrt{3}=0$

$\therefore (2-\sqrt{3})x-y-(3-\sqrt{3})=0$

নির্ণেয় সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ,

$(2+\sqrt{3})x-y-(3+\sqrt{3})=0,(2-\sqrt{3})x-y-(3-\sqrt{3})=0$