সৃজনশীলঃ ‘…’ ২০২৫ – স্থিতিবিদ্যা, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

মনে করি, $ABC$ ত্রিভুজের $A,B,C$ কোণগুলোর অন্তর্দ্বিখণ্ডক তিনটি পরস্পর $I$ বিন্দুতে ছেদ করেছে। তাহলে, $I$ হলো $ABC$ ত্রিভুজের অন্তঃকেন্দ্র। আবার, $ABC$ ত্রিভুজের $A,B,C$ বিন্দুতে যথাক্রমে $P_1,P_2,P_3$  তিনটি সমমুখী সমান্তরাল বল ক্রিয়ারত আছে। এখন, $B$ ও $C$ বিন্দুতে ক্রিয়ারত $P_2$ ও $P_3$সদৃশ সমান্তরাল বল দুইটির লব্ধি $(P_2+P_3),\mathrm{BC}$ রেখাস্থ কোনো বিন্দুতে ক্রিয়া করবে।

আবার বলত্রয়ের লব্ধি $(P_1+P_2+P_3)$, $I$ বিন্দুতে এবং $P_1$ বর্লটি $A$ বিন্দুতে ক্রিয়া করে। সুতরাং( $P_2+P_3)$ বলটি $AI$ তথা $AID$ রেখাস্প্থ কোনবিন্দুতে ক্রিয়া করবে। অতএ্রব $(P_2+P_3)$ বলটি $BC$ ও $AD$ এর ছেদ বিন্দু $D$ তে ক্রিয়া করবে। এখানে, $P_2\times \mathrm{BD}=P_3\times \mathrm{CD}$ 

বা, $\frac{P_2}{P_3}=\frac{CD}{BD}$$...........\left(1\right)$

প্রশ্নমতে, AD রেখা $\angle A$ কোণের সমদ্বিখণ্ডক 

সুতরাং $\frac{BD}{AB}=\frac{CD}{AC}$ বা, $\frac{CD}{BD}=\frac{AC}{AB}=\frac{b}{c}$$...........\left(2\right)$ 

$\left(1\right)$ ও  $\left(2\right)$নং হতে পাই, $\frac{P_2}{P_3}=\frac{b}{c}$ অর্থাৎ  $\frac{P_2}{b}=\frac{P_3}{c}$ 
অনুরূপভাবে প্রমাণ করা যায় যে, $\frac{P_i}{a}=\frac{P_3}{c}$ অতএব, $\frac{P_1}{a}=\frac{P_2}{b}=\frac{P_3}{c}\therefore P_1:P_2:P_3=a:b:c$. (দেখানো হলো)

[বি: দ্র: $P_1,P_2$ ও $P_3$ এর পরিবর্তে যথাক্রমে  $P,Q,R$ হবে]

$△\mathrm{ABC}$ এর অন্তঃকেন্দ্র $O$ হতে $P,Q,R$ বनত্রয় ক্রিয়া করে ভারসাম্য সৃষ্টি করে। নামির উপপাদ্য অনুসারে,

$\frac{P}{\sin \angle BOC}=\frac{Q}{\sin \angle AOC}=\frac{R}{\sin \angle AOB}$$................\left(i\right)$

$△\mathrm{BOC}$-এ $\angle \mathrm{BOC}+\angle \mathrm{OBC}+\angle \mathrm{OCB}={180}^{\circ }$ 

বা, $\angle \mathrm{BOC}+\frac{B}{2}+\frac{C}{2}={180}^{\circ }[\because \Delta \mathrm{ABC}$ এর অন্তঃকেন্দ্র O]
বা, $\angle \mathrm{BOC}={180}^{\circ }-\frac{1}{2}(B+C)$
বা, $\angle \mathrm{BOC}={180}^{\circ }-\frac{1}{2}({180}^{\circ }-A)={90}^{\circ }+\frac{A}{2}$

অনুরূপভাবে, $\angle \mathrm{AOC}={90}^{\circ }+\frac{B}{2}$ এবং  $\angle \mathrm{AOB}={90}^{\circ }+\frac{C}{2}$
$\therefore$$\left(i\right)$ নং হতে পাই,

$\frac{P}{\sin ({90}^{\circ }+\frac{A}{2})}=\frac{Q}{\sin ({90}^{\circ }+\frac{B}{2})}=\frac{R}{\sin ({90}^{\circ }+\frac{C}{2})}$ 

বা, $\frac{P}{\cos \frac{A}{2}}=\frac{Q}{\cos \frac{B}{2}}=\frac{R}{\cos \frac{C}{2}}$ বা, $\frac{P^2}{{\cos }^2\frac{A}{2}}=\frac{Q^2}{{\cos }^2\frac{B}{2}}=\frac{R^2}{{\cos }^2\frac{C}{2}}$ 

বা, $\frac{P^2}{2{\cos }^2\frac{A}{2}}=\frac{Q^2}{2{\cos }^2\frac{B}{2}}=\frac{R^2}{2{\cos }^2\frac{C}{2}}$
বা, $\frac{P^2}{1+\cos A}=\frac{Q^2}{1+\cos B}=\frac{R^2}{1+\cos C}$
বা, $\frac{P^2}{1+\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}}=\frac{Q^2}{1+\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}}=\frac{R^2}{1+\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}}$
বা,$\frac{P^2}{\frac{2bc+b^2+c^2-a^2}{2bc}}=\frac{Q^2}{\frac{2ca+c^2+a^2-b^2}{2ca}}=\frac{R^2}{\frac{2ab+a^2+b^2-c^2}{2ab}}$
বা, $\frac{P^2}{a\left\{\right(b+c{)}^2-a^2\}}=\frac{Q^2}{b\left\{\right(c+a{)}^2-b^2\}}=\frac{R^2}{c\left\{\right(a+b{)}^2-c^2\}}$
বা, $\frac{P^2}{a(a+b+c)(b+c-a)}=\frac{Q^2}{b(a+b+c)(c+a-b)}$$=\frac{R^2}{c(a+b+c)(a+b-c)}$ 

$\therefore \frac{P^2}{a(b+c-a)}=\frac{Q^2}{b(c+a-b)}=\frac{R^2}{c(a+b-c)}$

বা, $\frac{P^2}{a(a+b+c-2a)}=\frac{Q^2}{b(a+b+c-2b)}=\frac{R^2}{c(a+b+c-2c)}$
বা, $\frac{P^2}{a(2s-2a)}=\frac{Q^2}{b(2s-2b)}=\frac{R^2}{2c(s-2c)}$
[ত্রিভুজের পরিসীমা $2s=a+b+c$ ]
বা, $\frac{P^2}{2a(s-a)}=\frac{Q^2}{2b(s-b)}=\frac{R^2}{2c(s-c)}$
বা, $\frac{P^2}{a(s-a)}=\frac{Q^2}{b(s-b)}=\frac{R^2}{c(s-c)}$
বা, $P^2:Q^2:R^2=a(s-a):b(s-b):c(s-c)$. (দেখানো হলো)