সৃজনশীলঃ ‘…’ ২০২৬ – বৃত্ত, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, B এবং C বিন্দুর স্থানাঙ্ক $B(-2,0)$ ও $C(1,1)$. BC রেখার সমীকরণ :

$\frac{x+2}{-2-1}=\frac{y-0}{0-1}$

বা, $\frac{x+2}{-3}=\frac{y}{-1}$
বা, $x+2=3y$

$\therefore x-3y+2=0$ ...........................(i)

এখানে, $\mathrm{AD}\dot{\perp }\mathrm{BC}$.
সুতরাং AD রেখার সমীকরণ হবে, $3x+y+k=0$ ...........................(ii)
(ii) নং রেখাটি $(5,3)$ বিন্দুগামী,

$\therefore 3\times 5+3+k=0$

বা, $15+3+k=0$
বা, $18+k=0$

$\therefore k=-18$

k এর মান (ii) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

$3x+y-18=0$ ...........................(iii)

এখন, (i) নং ও (iii) নং রেখার ছেদবিন্দুই হবে D বিন্দুর স্থানাঙ্ক।
(i) নং কে 3 দ্বারা গুণ করে (iii) নং হতে বিয়োগ করে পাই,

$3x+y-18-3x+9y-6=0$

বা, $-10y-24=0$
বা, $10y=24$
বা, $y=\frac{24}{10}=\frac{12}{5}$

y এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই, $x-3\cdot \frac{12}{5}+2=0$
বা, $x-\frac{36}{5}+2=0$
বা, $x=\frac{36}{5}-2=\frac{36-10}{5}=\frac{26}{5}$

$\therefore x=\frac{26}{5}$

অর্থাৎ D বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(\frac{26}{5},\frac{12}{5})$
নির্ণেয় D বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(\frac{26}{5},\frac{12}{5})$.

দেওয়া আছে, ABC ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু তিনটি। $A(5,3),B(-2,0)$ এবং $C(1,1)$.
ABC ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র G হলে, G বিন্দুর স্থানাঙ্ক

$=(\frac{5-2+1}{3},\frac{3+0+1}{3})=(\frac{4}{3},\frac{4}{3})$

অর্থাৎ, G $(\frac{4}{3},\frac{4}{3})$.
ধরি, বৃত্তের সমীকরণ, $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ ......................(i)
(i) নং বৃত্তটি $A(5,3),B(-2,0)$ এবং $C(1,1)$ বিন্দুগামী,

$\therefore 5^2+3^2+2g\cdot 5+2f\cdot 3+c=0$
$25+9+10g+6f+c=0$
$\therefore 10g+6f+34+c=0$ ......................(ii)
$(-2{)}^2+0+2g(-2)+0+c=0$

বা, $4-4g+c=0$

$\therefore c=4g-4$ ......................(iii)
$(1{)}^2+(1{)}^2+2g\cdot 1+2f\cdot 1+c=0$
বা, $2g+2f+2+c=0$ ......................(iv)
(iv) নং কে 3 দ্বারা গুণ করে (ii) নং হতে বিয়োগ করি,

$10g+6f+34+c-6g-6f-6-3c=0$

বা, $4g+28-2c=0$
বা, $2g+14-c=0$
বা, $2g+14-(4g-4)=0$
বা, $2g+14-4g+4=0$
বা, $-2g+18=0$
বা, $-2g=-18$

$\therefore g=9$

g এর মান (iii) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

$c=4\times 9-4=36-4=32$

g এবং c এর মান (iv) নং সর্মীকরণে বসিয়ে পাই,

$2\times 9+2f+2+32=0$

বা, $18+2f+34=0$
বা, $2f+52=0$
বা, $2f=-52$

$\therefore f=-26$

$\therefore$ বৃত্তটির কেন্দ্র $(-g,-f)\equiv (-9,26)$

∴ ভরকেন্দ্র $(\frac{4}{3},\frac{4}{3})$ ও বৃত্তের কেন্দ্র $(-9,26)$ এর মধ্যবর্তী দূরত্ব

$=\sqrt{{(\frac{4}{3}+9)}^2+{(\frac{4}{3}-26)}^2}$ একক
$=\sqrt{{\left(\frac{4+27}{3}\right)}^2+{\left(\frac{4-78}{3}\right)}^2}$ একক
$=\sqrt{\frac{961}{9}+\frac{5476}{9}}$ একক
$=\sqrt{\frac{961+5476}{9}}$ একক

$=\sqrt{\frac{6437}{9}}$ একক $=\frac{1}{3}\sqrt{6437}$ একক

নির্ণেয় ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র ও বৃত্তের কেন্দ্রের মধ্যবর্তী দূরত্ব $\frac{1}{3}\sqrt{6437}$ একক।