সৃজনশীলঃ ‘…’ ২০২৬ – কনিক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

এখানে, কনিকের উৎকেন্দ্রিকতা, $e=1$
∴ কনিকটি একটি পরাবৃত্ত নির্দেশ করে।
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র S(5,2), শীর্ষবিন্দু A(3,4), নিয়ামকরেখা MZM', Z
বিন্দুর স্থানাঙ্ক ( $\alpha ,\beta$ ), পরাবৃত্তের উপরস্থ যেকোনো বিন্দু $P(x,y)$, যেহেতু SZ এর মধ্যবিন্দু A

সেহেতু $3=\frac{\alpha +5}{2}$

বা, $\alpha +5=6$

বা, $\alpha =6-5$

বা, $\alpha =1$ এবং $4=\frac{\beta +2}{2}$

বা, $\beta +2=8$

বা, $\beta =8-2$ বা, $\beta =6$

$\therefore Z$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(1,6)$

অক্ষরেখা AS এর ঢাল $=\frac{4-2}{3-5}=\frac{2}{-2}=-1$

∴ নিয়ামক রেখা MZM' এর ঢাল $=-\frac{1}{-1}=1$

নিয়ামক রেখা MZM' এর সমীকরণ,

$y-6=1\cdot (x-1)$

বা, $y-6=x-1$

বা, $x-1-y+6=0$

বা, $x-y+5=0$

পরাবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে, SP = PM

বা, $\sqrt{(x-5{)}^2+(y-2{)}^2}=\left|\frac{x-y+5}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2}}\right|$

বা, $(x-5{)}^2+(y-2{)}^2=\frac{(x-y+5{)}^2}{1+1}$

বা, $x^2-10x+25+y^2-4y+4=\frac{x^2+y^2+25-2xy-10y+10x}{2}$

বা, $x^2-10x+y^2-4y+29=\frac{x^2+y^2+25-2xy-10y+10x}{2}$

বা, $2x^2-20x+2y^2-8y+58=x^2+y^2+25-2xy-10y+10x$

বা, $2x^2-20x+2y^2-8y+58-x^2-y^2-25+2xy+10y-10x=0$

বা, $x^2+2xy+y^2-30x+2y+33=0$

বা, $(x+y{)}^2-30x+2y+33=0$.

$\therefore$ কনিকের সমীকরণ, $(x+y{)}^2-30x+2y+33=0$.

চিত্র হতে, উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক $S(3,-1)$ ও $S^{\prime }(1,-1)$

∴ উপবৃত্তের কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক, $\alpha ,\beta =(\frac{3+1}{2},\frac{-1-1}{2})$

$=(2,-1)$

এখন, উপবৃত্তের কেন্দ্র $(2,-1)$ এবং বৃহৎ অক্ষ $x$ -অক্ষের সমান্তরাল বিশিষ্ট উপবৃত্তের সমীকরণ, $\frac{(x-2{)}^2}{a^2}+\frac{(y+1{)}^2}{b^2}=1$. . . . . . . . . .(1)

এবং বৃহৎ অক্ষের দৈর্ঘ্য = 2 a

উপকেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব ,

$\text{ 2.ae }=\sqrt{(3-1{)}^2+(-1+1{)}^2}$

বা, $2\mathrm{ae}=\sqrt{2^2+0}$

বা, $2\mathrm{ae}=2$

$\therefore ae=1$. . . . . . . . . . .(2)

এখন, উপবৃত্তের শীর্ষবিন্দু ( $\pm a+\alpha ,\beta$ )

$=(\pm a+2,-1)$
$=(2-a,-1),(a+2,-1)$

$(3,-1)$ থেকে $(2-a,-1)$ বিন্দুর দূরত্ব 
$=\sqrt{(3-2+a{)}^2+(-1+1{)}^2}$
$=\sqrt{(1+a{)}^2+0}=a+1$

$(3,-1)$ থেকে $(a+2,-1)$ বিন্দুর দূরত্ব $=\sqrt{(3-a-2{)}^2+(-1+1{)}^2}$

$\begin{array}{cc}& =\sqrt{(1-a{)}^2+0}\\ & =\sqrt{(a-1{)}^2}=a-1\end{array}$

প্রশ্নমতে, $(a+1)(a-1)=4$

বা, $a^2-1=4$

বা, $a^2=5$

$\therefore a=\sqrt{5}$

আবার, (2) নং হতে পাই,

$e=\frac{1}{a}=\frac{1}{\sqrt{5}}$

বা, $\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\frac{1}{\sqrt{5}}$

বা, $1-\frac{b^2}{a^2}=\frac{1}{5}$ [বর্গ করে]

বা, $1-\frac{b^2}{5}=\frac{1}{5}$

বা, $\frac{5-b^2}{5}=\frac{1}{5}$

বা, $5-b^2=1$

বা, $b^2=5-1$

বা, $b^2=4$

$\therefore b=2$

(1) নং সমীকরণে $a$ ও $b$ এর মান বসিয়ে পাই,

$\frac{(x-2{)}^2}{5}+\frac{(y+1{)}^2}{4}=1$ ইহাই নির্ণেয় সমীকরণ।