সৃজনশীলঃ ‘…’ ২০২৬ – সরলরেখা, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

চিত্র হতে, 

PR রেখার ঢাল $=\frac{3-1}{1-5}=\frac{2}{-4}=\frac{-1}{2}$
$\because \mathrm{PR}\perp \mathrm{QS}$
$\therefore$ QS রেখার ঢাল, $m=2$
PR রেখার সমীকরণ, $y-3=\frac{-1}{2}(x-1)$
বা, $2y-6=-x+1$
বা, $x+2y=7$ ........................(i)

QS রেখার সমীকরণ, $y+1=2(x-3)$
বা, $y+1=2x-6$
বা, $2x-y=7$ ........................(ii)

বা, $x=\frac{21}{5}$

(i) নং এ $x=\frac{21}{5}$ বসিয়ে পাই, $\frac{21}{5}+2y=7$

বা, $2y=7-\frac{21}{5}$
বা, $2y=\frac{35-21}{5}$
বা, $2y=\frac{14}{5}$
বা, $y=\frac{7}{5}$
$\therefore Q$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(\frac{21}{5},\frac{7}{5})$

$PQ:QR=(x_1-x_2):(x_2-x_3)$
$=(1-\frac{21}{5}):(\frac{21}{5}-5)$
$=\frac{5-21}{5}:\frac{21-25}{5}$
$=\frac{-16}{5}:\frac{-4}{5}=16:4=4:1$

নির্ণেয় $PQ:QR=4:1$.

‘খ’ হতে $Q(\frac{21}{5},\frac{7}{5})$
আবার, S(3,-1)
QS রেখার ঢাল = 2
∵ QS ⟂ TS. সুতরাং TS রেখার ঢাল, $m=\frac{-1}{2}$
$S(3,-1)$ বিন্দুগামী রেখা, $y-y_1=m(x-x_1)$
বা, $y+1=\frac{-1}{2}(x-3)$
বা, $2y+2=-x+3$
বা, $x+2y=1$
বা, $\frac{x}{1}+\frac{y}{\frac{1}{2}}=1$

$\therefore y$ অক্ষের ছেদবিন্দু T $(0,\frac{1}{2})$

$△QST$ এর ক্ষেত্রফল $=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{ccc}0& \frac{1}{2}& 1\\ 3& -1& 1\\ \frac{21}{5}& \frac{7}{5}& 1\end{array}\right|$.

$=\frac{1}{2}[0-\frac{1}{2}(3-\frac{21}{5})+1(\frac{21}{5}+\frac{21}{5})]$
$=\frac{1}{2}[\left(\frac{-1}{2}\right)\cdot \left(\frac{-6}{5}\right)+\left(\frac{42}{5}\right)]$
$=\frac{1}{2}(\frac{3}{5}+\frac{42}{5})$
$=\frac{1}{2}\times 9$
$=4.5$ বর্গ একক

নির্ণেয় $△$ QST এর ক্ষেত্রফল 4.5 বর্গ একক।