সৃজনশীলঃ ‘…’ ২০২৬ – স্থিতিবিদ্যা, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

চিত্রে, CD=r ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি সুষম গোলকের এক প্রান্ত AD=l দৈর্ঘ্যবিশিষ্ট একটি অপ্রসারণশীল সুতার সাহায্যে কোনো খাড়া দেওয়ালে আটকানো। এটি দেওয়ালকে B বিন্দুতে স্পর্শ করে।

গোলকের ওজন W যা CE বরাবর ক্রিয়াশীল। দেওয়ালের প্রতিক্রিয়া বল R, BC বরাবর ক্রিয়াশীল।

C বিন্দুতে T, R, W বলত্রয় ভারসাম্য সৃষ্টি করে।

$\therefore$ লামির উপপাদ্য অনুসারে,

$\frac{W}{\sin R^{\wedge }T}=\frac{R}{\sin T^{\prime }W}=\frac{T}{\sin W^{\wedge }R}$

$\frac{W}{\sin (\angle {180}^{\circ }-\angle ACB)}=\frac{R}{\sin ({90}^{\circ }+\angle ACB)}$

বা, $\frac{R}{(\cos \angle ACB)}=\frac{W}{\sin \angle ACB}$

বা, $\frac{R}{\frac{\mathrm{CB}}{\mathrm{AC}}}=\frac{W}{\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}}$

বা, $\frac{R}{\mathrm{CD}}=\frac{W}{\mathrm{AB}}$

বা, $R=\frac{W\times \mathrm{CD}}{\mathrm{AB}}=\frac{W\times r}{\sqrt{{\mathrm{AC}}^2-{\mathrm{CB}}^2}}$

বা, $R=\frac{\mathrm{Wr}}{\sqrt{(l+r^2-r^2}}=\frac{\mathrm{Wr}}{\sqrt{l+2rl+r^2-r^2}}$

$\therefore R=\frac{\mathrm{Wr}}{\sqrt{2rl+l}}$ (প্রমাণিত)

[বি.দ্র. উদ্দীপক এবং তথ্যে ‘a’ সম্পর্কে কিছু না থাকায় $R=\frac{\mathrm{Wr}}{\sqrt{2rl+l^2}}$ এর পরিবর্তে $R=\frac{\mathrm{Wr}}{\sqrt{2\mathrm{rl}+l^2}}$ প্রমাণ করা হলো]

দৃশ্যকল্প-২ হত়ে পাই, $\mathrm{AB}=20m$

এখানে, $10N$ ও $5N$ বলদ্বয় যথাক্রম A ও B

বিন্দুতে ক্রিয়াশীল এবং এদের লব্ধি C বিন্দুতে

ক্রিয়াশীল এবং $A{B}^{\circ }=20$ মিটার।

$\therefore 10\times \mathrm{AC}=5\times \mathrm{BC}$

বা, $\mathrm{AC}=\frac{1}{2}\mathrm{BC}=\frac{\mathrm{AC}+\mathrm{BC}}{1+2}=\frac{\mathrm{AB}}{3}$

আবার, বলদ্বয় স্থান বিনিময় করলে, লব্ধি $\mathrm{AB}$ বরাবর $\mathrm{CD}=x$ দূরত্ব সরে যায়।

$\therefore 5\times \mathrm{AD}=10\times \mathrm{BD}$ বা, $\mathrm{AD}=2\mathrm{BD}$

বা, $\frac{AD}{2}=BD=\frac{AD+BD}{1+2}=\frac{AB}{3}$.

বা, $\mathrm{AD}=\frac{2}{3}\mathrm{AB}$

(ii) নং হতে (i) নং বিয়োগ করে পাই,

$\mathrm{AD}-\mathrm{AC}=\frac{2}{3}\mathrm{AB}-\frac{\mathrm{AB}}{3}$

বা, $\mathrm{CD}=\frac{1}{3}\mathrm{AB}$

বা, $x=\frac{1}{3}\times 20$

$\therefore x=6.67m$

অতএব, দৃশ্যকল্প-২ এ বলদ্বয় স্থান বিনিময় করলে তাদের লব্ধি $\mathrm{AB}$ বরাবর $6.67m$ দূরে সরে যাবে।