সৃজনশীলঃ ‘(2+ax)7 এর বিস্তৃতিতে…’ রাজশাহী বোর্ড ২০২৪ – দ্বিপদী বিস্তৃতি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

প্রদত্ত দ্বিপদী রাশি $=(2+ax{)}^7$

দ্বিপদী উপপাদ্য ব্যবহার করে পাই,

$(2+ax{)}^7=2^7+{}^7{C}_1\cdot 2^{7-1}(ax{)}^1+{}^7{C}_2\cdot 2^{7-2}(ax{)}^2+{}^7{C}_3\cdot 2^{7-3}(ax{)}^3+{}^7{C}_4\cdot 2^{7-4}(ax{)}^4+\dots \dots \dots$

$=2^7+{}^7{C}_1\cdot 2^6\cdot ax+{}^7{C}_2\cdot 2^5\cdot a^2{x}^2+{}^7{C}_3\cdot 2^4\cdot a^3{x}^3+{}^7{C}_4\cdot 2^3\cdot a^4{x}^4+\dots \dots$

$\therefore x^3$ এর সহগ $={}^7{C}_3\cdot 2^4\cdot a^3$

শর্তমতে, ${}^7{C}_3\cdot 2^4\cdot a^3=15120$

বা, $\frac{7\cdot 6\cdot 5}{3\cdot 2\cdot 1}\cdot 16a^3=15120$

বা, $35\times 16a^3=15120$

বা, $560a^3=15120$

বা, $a^3=\frac{15120}{560}=27=3^3$

$\therefore a=3$

নির্ণেয় মান : $a=3$.

দেওয়া আছে, $y=f\left(x\right)=\ln \frac{7+x}{7-x}$

যেহেতু, লগারিদম শুধুমাত্র ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যার জন্য সংজ্ঞায়িত হয়।

$\therefore \frac{7+x}{7-x}>0$ হবে যদি (i) $7+x>0$ এবং $7-x>0$ হয়

অথবা, (ii) $7+x<0$ এবং $7-x<0$ হয়

(i)নং হতে পাই, $x>-7$ এবং - $x>-7$

বা, $x>-7$ এবং $x<7$

$\therefore$ ডোমেন $=\{x:x>-7\}$ এবং $\{x:x<7\}$

$=(-7,\infty )\cap (-\infty ,7)=(-7;7)$

(ii)নং হতে পাই, $x<-7$ এবং $-x<-7$

বা, $x<-7$ এবং $x>7$

$\therefore$ ডোমেন $=\{x:x<-7\}\cap \{x:x>7\}=(-\infty ,-7)\cap (7,\infty )=\varnothing$

$\therefore$ প্রদত্ত ফাংশনের ডোমেন

$D_f$  $=\left(i\right)$ ও $\left(\mathrm{ii}\right)$এর ক্ষেত্রে প্রাপ্ত ডোমেনের সংযোগ

$=(-7,7)\cup \varnothing =(-7,7)$

আবার, $y=f\left(x\right)=\ln \frac{7+x}{7-x}$

বা, $e^y=\frac{7+x}{7-x}$

বা, $7+x=7e^y-x{e}^y$

বা, $x+x{e}^y=7e^y-7$ বা, $x(1+e^y)=7(e^y-1)$

$\therefore x=\frac{7(e^y-1)}{e^y+1}$

$y$ -এর সকল বাস্তব মানের জন্য $x$ এর মান বাস্তব হয়।

$\therefore$ প্রদত্ত ফাংশনের রেঞ্জ, $R_f=R$

নির্ণেয় ডোমেন $(-7,7)$ এবং রেঞ্জ $R$.