সৃজনশীলঃ ‘2x+3y+6=0 ও 3x+2y−6=0…’ সিলেট বোর্ড ২০২৫ – সরলরেখা, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

উদ্দীপকের ১ম রেখার সমীকরণ,

$2x+3y+6=0$

রেখাটির ঢাল $=\frac{-2}{3}$

(1) নং রেখার লম্বরেখার ঢাল $=\frac{-1}{-\frac{2}{3}}=\frac{3}{2}$

$\therefore$ (1) নং রেখার লম্বরেখার সমীকরণ,

$y-y_1=\frac{3}{2}(x-x_1)$

রেখাটি $(2,3)$ বিন্দুগামী,

$\therefore y-3=\frac{3}{2}(x-2)$

বা, $2y-6=3x-6$

বা, $3x-2y=0$ ......... (2)

(1) নং সমীকরণকে 2 দ্বারা এবং (2) নং সমীকরণকে ও দ্বারা গুণ করে যোগ করে পাই,

(1) $\times 2$ হতে, $4x+6y+12=0$

(2) $\times 3$ হতে, $9x-6y=0$

---------------------------------

(+) করে, $13x+12=0$

বা, $x=\frac{-12}{13}$

(2) নং সমীকরণে, $x=\frac{-12}{13}$ বসিয়ে পাই,

$3\cdot \frac{-12}{13}-2y=0$

বা, $2y=\frac{36}{13}$

বা, $y=\frac{-18}{13}$

$\therefore$ লম্বরেখার পাদবিন্দু $=R(\frac{-12}{13},\frac{-18}{13})$

ধরি, $P(2,3)$ এর প্রতিবিম্ব বিন্দু $Q(a,b)$

তাহলে, R বিন্দু হবে PQ এর মধ্যবিন্দু।

PQ এর মধ্যবিন্দু $(\frac{a+2}{2},\frac{b+3}{2})$

প্রশ্নমতে, $\frac{a+2}{2}=\frac{-12}{13}$

বা, $a+2=\frac{-24}{13}$

বা, $a=\frac{-24}{13}-2$

$\therefore a=\frac{-50}{13}$

এবং $\frac{b+3}{2}=\frac{-18}{13}$

বা, $b+3=\frac{-36}{13}$

বা, $b=-\frac{36}{13}-3$

$\therefore b=\frac{-75}{13}$

নির্ণেয় প্রতিবিম্ব বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(\frac{-50}{13},\frac{-75}{13})$.

প্রদত্ত রেখাদ্বয়, $2x+3y+6=0$ ........ (i)

$3x+2y-6=0$ ........ (ii)

এখানে, $a_1{a}_2+b_1{b}_2=2.3+3.2=12>0$

$\therefore$ (i) ও (ii) এর মধ্যবর্তী স্থূলকোণের সমদ্বিখন্ডক

$\frac{2x+3y+6}{\sqrt{2^2+3^2}}=\frac{3x+2y-6}{\sqrt{3^2+2^2}}$

বা, $2x+3y+6=3x+2y-6$

বা, $-x+y=-12$

বা, $y=x-12$

$\therefore$ ঢাল, $m=1$

অর্থাৎ, $\tan \theta =1$

বা, $\tan \theta =\tan {45}^{\circ }$

$\therefore \theta ={45}^{\circ }$

$\therefore$ স্থূলকোণের সমদ্বিখন্ডক $x$ অক্ষের সাথে 45° এবং $y$ অক্ষের সাথে $90°-45°=45°$ কোণ উৎপন্ন করে।

অর্থাৎ, $y$ অক্ষের সাথে 45° কোণ উৎপন্ন করে।