সৃজনশীলঃ ‘2x−y−z=6,x+3y+2z=1 এবং 3x−y−5z=1.…’ ২০২৫ – ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $2x-y-z=6$

$x+3y+2z=1$

$3x-y-5z=1$

$x,y$ ও $z$ এর সহগগুলো নিয়ে গঠিত ম্যাট্রিক্স $A$ হলে,

$A=\left[\begin{array}{ccc}2& -1& -1\\ 1& 3& 2\\ 3& -1& -5\end{array}\right]$

$\therefore |A|=\left|\begin{array}{ccc}2& -1& -1\\ 1& 3& 2\\ 3& -1& -5\end{array}\right|=2(-15+2)+1(-5-6)-1(-1^{\prime }-9)$

$=-26-11+10=-37+10=-27\ne 0$

$\therefore A^{-1}$ বিদ্যমান।

A এর সহগুণকসমূহ :

$A_{11}=\left|\begin{array}{cc}3& 2\\ -1& -5\end{array}\right|$

$=-15+2=-13$

$A_{12}=-\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& -5\end{array}\right|$

$=-(-5-6)=11$

$A_{13}=\left|\begin{array}{cc}1& 3\\ 3& -1\end{array}\right|$

$=-1-9=-10$

$A_{2!}=-\left|\begin{array}{cc}-1& -1\\ -1& -5\end{array}\right|$

$=-(5-1)=-4$

$A_{22}=\left|\begin{array}{cc}2& -1\\ 3& -5\end{array}\right|$

$=-10+3=-7$

$A_{23}=-\left|\begin{array}{cc}2& -1\\ 3& -1\end{array}\right|$

$=-(-2+3)=-1$

$A_{31}=\left|\begin{array}{cc}-1& -1\\ 3& 2\end{array}\right|$

$=-2+3=1$

$A_{32}=-\left|\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& 2\end{array}\right|$

$=-(4+1)=-5$

$A_{33}=\left|\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& 3\end{array}\right|$

$=6+1=7$

$AdjA=\left[\begin{array}{ccc}{A}_{11}& A_{12}& A_{13}\\ A_{21}& A_{22}& A_{23}\\ A_{31}& A_{32}& A_{33}\end{array}\right]$

$={\left[\begin{array}{ccc}-13& 11& -10\\ -4& -7& -1\\ 1& -5& 7\end{array}\right]}^T=\left[\begin{array}{ccc}-13& -4& 1\\ 11& -7& -5\\ -10& -1& 7\end{array}\right]$

$\therefore A^{-1}=\frac{1}{\left|A\right|}AdjA=\frac{1}{-27}\left[\begin{array}{ccc}-13& -4& 1\\ 11& -7& -5\\ -10& -1& 7\end{array}\right]$

$=\frac{1}{27}\left[\begin{array}{ccc}13& 4& -1\\ -11& 7& 5\\ 10& 1& -7\end{array}\right]$

নির্ণেয় $A^{-1}=\frac{1}{27}\left[\begin{array}{ccc}13& 4& -1\\ -11& 7& 5\\ 10& 1& -7\end{array}\right]$

দেওয়া আছে, $2x-y-z=6$

$\begin{array}{cc}& x+3y+2z=1\\ & 3x-y-5z=1\end{array}$

$x,y$ ও $z$ এর সহগগুচ্ছ নিয়ে গঠিত নির্ণায়ক,

$D=\left|\begin{array}{ccc}2& -1& -1\\ 1& 3& 2\\ 3& -1& -5\end{array}\right|$

$=2(-15+2)+1(-5-6)-1(-1-9)=-26-11+10=-27$

এখন, $D_x=\left|\begin{array}{ccc}6& -1& -1\\ 1& 3& 2\\ 1& -1& -5\end{array}\right|$

$=6(-15+2)+1(-5-2)-1(-1-3)$

$=-78-7+4=-85+4=-81$

$D_y=\left|\begin{array}{ccc}2& 6& -1\\ 1& 1& 2\\ 3& 1& -5\end{array}\right|$

$=2(-5-2)-6(-5-6)-1(1-3)$

$=-14+66+2=68-14=54$

$D_z=\left|\begin{array}{ccc}2& -1& 6\\ 1& 3& 1\\ 3& -1& 1\end{array}\right|$

$=2(3+1)+1(1-3)+6(-1-9)$

$=8-2-60=8-62=-54$

$\therefore x=\frac{D_x}{D}=\frac{-81}{-27}=3$

$=\frac{D_y}{D}=\frac{54}{-27}=-2$

$z=\frac{D_z}{D}=\frac{-54}{-27}=2$

নির্ণেয় সমাধান : $(x,y,z)=(3,-2,2)$.