সৃজনশীলঃ ‘(3x+1)−1+(3x+1)−2+(3x+1)−3+…… একটি অনন্ত…’ কুমিল্লা বোর্ড ২০২৪

$(3 x + 1)^{- 1} + (3 x + 1)^{- 2} + (3 x + 1)^{- 3} + \dots \dots$ একটি অনন্ত গুণোত্তর ধারা।

উত্তর:

প্রদত্ত অনুক্রম : $\frac{2}{5}, \frac{3}{10}, \frac{4}{15}, \dots \dots$ .

অনুক্রমটির প্রথম পদ $= \frac{2}{5} = \frac{1 + 1}{5.1}$ .

দ্বিতীয় পদ $= \frac{3}{10} = \frac{2 + 1}{5.2}$

তৃতীয় পদ $= \frac{4}{15} = \frac{3 + 1}{5.3}$

$∴$ অনুক্রমটির n তম পদ $= \frac{n + 1}{5 n}$ ; যেখানে $n = 1, 2, 3, \dots .$ .

উত্তর:

প্রদত্ত অনন্ত গুণোত্তর ধারাটি হলো :

$\begin{matrix} (3 x + 1)^{- 1} + (3 x + 1)^{- 2} + (3 x + 1)^{- 3} + \dots \dots \\ = \frac{1}{3 x + 1} + \frac{1}{(3 x + 1)^{2}} + \frac{1}{(3 x + 1)^{3}} + \dots \dots \end{matrix}$

এখন, $x = \frac{2}{3}$ হলে ধারাটি হবে,

$\begin{matrix} \frac{1}{3 \cdot \frac{2}{3} + 1} + \frac{1}{{(3 \cdot \frac{2}{3} + 1)}^{2}} + \frac{1}{{(3 \cdot \frac{2}{3} + 1)}^{3}} + \dots \\ = \frac{1}{3} + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{3^{3}} + \dots \dots = \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27} + \dots \dots \end{matrix}$

এখানে, গুণোত্তর ধারাটির প্রথম পদ, $a = \frac{1}{3}$

এবং সাধারণ অনুপাত, $r = \frac{\frac{1}{9}}{\frac{1}{3}} = \frac{1}{9} \times 3 = \frac{1}{3} < 1$

$∴$ ধারাটির প্রথম 7 পদের সমষ্টি, $S_{7} = \frac{a (1 - r^{7})}{1 - r} [∵ r < 1]$

$= \frac{\frac{1}{3} {1 - {(\frac{1}{3})}^{7}}}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{\frac{1}{3} (1 - \frac{1}{2187})}{\frac{2}{3}}$

$= \frac{1}{3} (\frac{2187 - 1}{2187}) \times \frac{3}{2} = \frac{1}{3} \times \frac{2186}{2187} \times \frac{3}{2} = \frac{1093}{2187}$

নির্ণেয় ধারাটির প্রথম 7 পদের সমষ্টি $\frac{1093}{2187}$

উত্তর:

প্রদত্ত অনন্ত গুণোত্তর ধারাটি হলো:

$(3 x + 1)^{- 1} + (3 x + 1)^{- 2} + (3 x + 1)^{- 3} + \dots \dots \dots$

$= \frac{1}{3 x + 1} + \frac{1}{(3 x + 1)^{2}} + \frac{1}{(3 x + 1)^{3}}$

এখানে, ধারাটির প্রথম পদ, $a = \frac{1}{3 x + 1}$

এবং সাধারণ অনুপাত, $r = \frac{\frac{1}{(3 x + 1)^{2}}}{\frac{1}{3 x + 1}} = \frac{1}{(3 x + 1)^{2}} \times (3 x + 1) = \frac{1}{3 x + 1}$

ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে যদি $| r | < 1$ হয়

অর্থাৎ, - $1 < r < 1$

বা, $- 1 < \frac{1}{3 x + 1} < 1$

এখন, $- 1 < \frac{1}{3 x + 1}$

বা, $- 1 > 3 x + 1$

বা, $3 x + 1 < - 1$

বা, $3 x < - 1 - 1$

বা, $3 x < - 2$

বা, $x < - \frac{2}{3}$

আবার, $\frac{1}{3 x + 1} < 1$

বা, $3 x + 1 > 1$

বা, $3 x > 1 - 1$

বা, $3 x > 0$

বা, $x > 0$

$∴ x < - \frac{2}{3}$ অথবা $x > 0$ শর্ত আরোপ করলে উক্ত ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে।

$∴$ ধারাটির অসীমতক সমষ্টি, $S_{\infty} = \frac{a}{1 - r}$

$= \frac{\frac{1}{3 x + 1}}{1 - \frac{1}{3 x + 1}} = \frac{\frac{1}{3 x + 1}}{\frac{3 x + 1 - 1}{3 x + 1}} = \frac{\frac{1}{3 x + 1}}{\frac{3 x}{3 x + 1}} = \frac{1}{3 x + 1} \times \frac{3 x + 1}{3 x} = \frac{1}{3 x}$

নির্ণেয় শর্ত : $x < - \frac{2}{3}$ অথবা $x > 0$ এবং সমষ্টি $\frac{1}{3 x}$ .

A. Nayan

3 Jun 2026 (3 months ago)

সৃজনশীলঃ ‘(3x+1)−1+(3x+1)−2+(3x+1)−3+…… একটি অনন্ত…’ কুমিল্লা বোর্ড ২০২৪ – অসীম ধারা, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

💡 সৃজনশীল প্রশ্ন ও উত্তর

A. Nayan

3 Jun 2026 (3 months ago)

texthide = ""; texthide = texthide.substring(1) document.write(texthide);

সৃজনশীলঃ ‘(3x+1)−1+(3x+1)−2+(3x+1)−3+…… একটি অনন্ত…’ কুমিল্লা বোর্ড ২০২৪ – অসীম ধারা, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

💡 সৃজনশীল প্রশ্ন ও উত্তর