সৃজনশীলঃ ‘3x−4y=2 ও 4x−3y+1=0…’ আদমজী ক্যান্টনমেন্ট কলেজ ২০২৫ – বৃত্ত, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, সরলরেখার সমীকরণ, 3x - 4y = 2

বা, $3x-4y-2=0$ . . . . . . . . . . . . (i)

এবং $4x-3y+1=0$ . . . . . . . . . . . . (ii)

এখানে, $a_1\cdot a_2+b_1\cdot b_2=3\cdot 4+(-4)\cdot (-3)=12+12=24>0$

∴ (i) নং ও (ii) নং রেখার মধ্যবর্তী সূক্ষ্মকোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ,

$\frac{3x-4y-2}{\sqrt{3^2+(-4{)}^2}}=-\frac{4x-3y+1}{\sqrt{4^2+(-3{)}^2}}$

বা,  $\frac{3x-4y-2}{\sqrt{25}}=-\frac{4x-3y+1}{\sqrt{25}}$
বা,  $3x-4y-2=-(4x-3y+1)$
বা,  $3x-4y-2=-4x+3y-1$
বা,  $3x-4y-2+4x-3y+1=0$
$\therefore 7x-7y-1=0$

নির্ণেয় রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী সূক্ষ্মকোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ, $7x-7y-1=0$

ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ $=r$

দেওয়া আছে, বৃত্তের কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক $(3,4)$

$(3,4)$ কেন্দ্র এবং ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তের সমীকরণ,

$(x-3{)}^2+(y-4{)}^2=r^2$. . . . . . . . . .(1)

দেওয়া আছে, বৃত্তের সমীকরণ, $x^2+y^2=9$

বা, $(x-0{)}^2+(y-0{)}^2=3^2$  . . . . . . . . . . . (2)

∴ বৃত্তটির কেন্দ্র $(0,0)$ এবং ব্যাসার্ধ $=3$

(1) নং ও (2) নং বৃত্তদ্বয় পরস্পরকে বহিঃস্থভাবে স্পর্শ করলে, বৃত্তের ব্যাসার্ধদ্বয়ের যোগফল = কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব

বা, $r+3=\sqrt{(3-0{)}^2+(4-0{)}^2}$
বা, $r+3=\sqrt{9+16}$
বা, $r+3=5$

$\therefore r=2$

(1) নং সমীকরণে $r=2$ বসিয়ে পাই,

$(x-3{)}^2+(y-4{)}^2=2^2$

বা, $x^2-6x+9+y^2-8y+16=4$ 

$\therefore x^2+y^2-6x-8y+21=0.$

আবার, (1) নং ও (2) নং বৃত্তদ্বয় পরস্পরকে অন্তস্থঃভাবে স্পর্শ করলে, বৃত্তের ব্যাসার্ধদ্বয়ের অন্তর = কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব

বা, $r-3=\sqrt{(3-0{)}^2+(4-0{)}^2}$
বা, $r-3=\sqrt{9+16}$
বা, $r-3=5$

$\therefore r=8$

(1) নং সমীকরণে $r=8$ বসিয়ে পাই,

$(x-3{)}^2+(y-4{)}^2=8^2$

বা, $x^2-6x+9+y^2-8y+16=64$

$\therefore x^2+y^2-6x-8y-39=0$

নির্ণেয় বৃত্তদ্বয়ের সমীকরণ, $x^2+y^2-6x-8y+21=0,x^2+y^2-$$6x-8y-39=0$