সৃজনশীলঃ ‘4km প্রশস্ত একটি…’ সিলেট বোর্ড ২০২১ – ভেক্টর, পদার্থবিজ্ঞান, পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্র (এইচএসসি)

নাল ভেক্টর হলো শূণ্য ভেক্টর। এর নাল শূণ্য বলে এর কোনো সুনির্দিষ্ট দিক নির্ণয় করা সম্ভব নয়। তাই এর দিক যেকোনো দিকেই বিবেচনা করা যেতে পারে। 

এখানে,
স্রোতের বেগ, P = 6 kmh^-1

নৌকার বেগ, Q = 12 kmh^-¹

মধ্যবর্তী কোণ, $\alpha$ = 90°

লব্ধি বেগ, R = ?

আমরা জানি,

লব্ধিবেগ, 
$R=\sqrt{P^2+Q^2+2\mathrm{PQ}\cos \alpha }$
$=\sqrt{6^2+{12}^2+2\cdot 6\cdot 12\cdot \cos {90}^{\circ }}$ 
$=\sqrt{6^2+{12}^2}$
$=6\sqrt{5}{\mathrm{kmh}}^{-1}$

সুতরাং, নৌকার লব্ধি বেগ = 6√5 kmh^-1

A বিন্দু হতে নৌকাটি যাত্রা করে 20 মিনিটের মধ্যে অপর পাড়ের B বিন্দুতে পৌঁছালে অপেক্ষমান লোকটির সাথে নৌকার সাক্ষাৎ হবে। এজন্য নৌকাটি যদি নদীর প্রস্থ বরাবর চালানো হয় তবে নৌকাটি B বিন্দুতে না পৌছে B বিন্দু হতে ডানদিকে অপর পাড়ে পৌছবে। ধরা যাক, স্রোতের বেগের সাথে $\alpha$ কোণে নৌকা চালালে নৌকাটি B বিন্দুতে পৌছাবে এবং লব্ধির দিক হবে নদীর প্রস্থ বরাবর অর্থাৎ স্রোতের বেগের সাথে 90° কোণে।

এখানে, 

নদীর প্রস্থ, d = 4km 

নৌকার বেগ, Q = 12 Kmh^-1

স্রোতের বেগ, P = 6 Kmh^-1

ধরা যাক, এদের লব্ধি R

$\overrightarrow{P}$ ও $\overrightarrow{Q}$ এর মধ্যবর্তী কোণ α = এবং $\overrightarrow{R}$ ও $\overrightarrow{P}$ এর মধ্যবর্তী কোণ, θ = 90°

আমরা জানি,

$\tan \theta =\frac{Q\sin \alpha }{P+Q\cos \alpha }$
বা, $\tan {90}^{\circ }=\frac{1}{0}=\frac{Q\sin \alpha }{P+Q\cos \alpha }$
বা,$P+Q\cos \alpha =0$
বা,$\cos \alpha =(-\frac{P}{Q})$
বা,$\alpha ={\cos }^{-1}(-\frac{6}{12})$
$={\cos }^{-1}(-\frac{1}{2})={120}^{\circ }$
$\therefore$ লব্ধি, $R=\sqrt{P^2+Q^2+2\mathrm{PQ}\cos \alpha }$ 
$=\sqrt{6^2+{12}^2+2\times 6\times 12(-\frac{1}{2})}$
$=\sqrt{180-72}=6\sqrt{3}{\mathrm{kmh}}^{-1}$

এখানে, নৌকাটির অপর পাড়ে B বিন্দুতে যেতে t hour সময় লাগলে,

$t=\frac{R}{d}=\frac{4}{6\sqrt{3}}h=0.385h$

$=23.1\min >20\min$

গাণিতিক বিশ্লেষণে দেখা যাচ্ছে যে নৌকাটির অপর পাড়ে যেতে যে সময় লাগে তার অনেক আগেই B বিন্দুতে অপেক্ষমান লোকটি চলে যাবে তাই নৌকাটির সাথে তার সাক্ষাৎ হবে না।