সৃজনশীলঃ ‘4x−5y+7=0 রেখাটি x…’ যশোর বোর্ড ২০২৫ – সরলরেখা, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

প্রদত্ত রেখার সমীকরণ,

$4x-5y+7=0\dots \dots \left(1\right)$

$\left(1\right)$ নং রেখার সমান্তরাল যেকোনো রেখার সমীকরণ,

$4x-5y+k=0\dots \dots \left(2\right)$

মূলবিন্দু $(0,0)$ হতে $\left(2\right)$ নং রেখার লম্ব দূরত্ব

$=\frac{\left|4\right(0)-5(0)+k|}{\sqrt{4^2+(-5{)}^2}}$

$=\frac{\left|k\right|}{\sqrt{16+25}}$

$=\frac{\left|k\right|}{\sqrt{41}}$

প্রশ্নমতে, মূলবিন্দু থেকে রেখাটির দূরত্ব $8$ একক।

$\therefore \frac{\left|k\right|}{\sqrt{41}}=8$

পরমমান (Modulus) তুলে দিলে আমরা পাই,

$k=\pm 8\sqrt{41}$

এখন, $k$ এর মান $\left(2\right)$ নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

$4x-5y\pm 8\sqrt{41}=0$

নির্ণেয় সমীকরণ $4x-5y\pm 8\sqrt{41}=0$

প্রদত্ত রেখার সমীকরণ, $4x-5y+7=0$

$\Rightarrow 4x-5y=-7$

$\Rightarrow \frac{4x}{-7}+\frac{-5y}{-7}=1$

$\Rightarrow \frac{x}{-\frac{7}{4}}+\frac{y}{\frac{7}{5}}=1$

এই রেখাটি $x$-অক্ষকে $A$ এবং $y$-অক্ষকে $B$ বিন্দুতে ছেদ করে।

সুতরাং, ছেদবিন্দুদ্বয়ের স্থানাঙ্ক $A(-\frac{7}{4},0)$ এবং $B(0,\frac{7}{5})$।

দেওয়া আছে, $C$ বিন্দুটি $AB$ রেখাংশকে $2:5$ অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।

অন্তর্বিভক্তিকরণের সূত্রানুসারে $C$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(x,y)$ হলে,

ভুজ, $x=\frac{2\left(0\right)+5(-\frac{7}{4})}{2+5}=\frac{-\frac{35}{4}}{7}=-\frac{35}{4\times 7}=-\frac{5}{4}$

কোটি, $y=\frac{2\left(\frac{7}{5}\right)+5\left(0\right)}{2+5}=\frac{\frac{14}{5}}{7}=\frac{14}{5\times 7}=\frac{2}{5}$

$\therefore C$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(-\frac{5}{4},\frac{2}{5})$।

এবং মূলবিন্দু $O(0,0)$।

আমরা জানি, $(x_1,y_1)$ এবং $(x_2,y_2)$ বিন্দুগামী রেখার ঢাল $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

অতএব, $OC$ রেখার ঢাল, $m_1=\frac{\frac{2}{5}-0}{-\frac{5}{4}-0}=\frac{\frac{2}{5}}{-\frac{5}{4}}=\frac{2}{5}\times (-\frac{4}{5})=-\frac{8}{25}$

ধরি, $OC$ রেখার উপর লম্ব রেখার ঢাল $m_2$।

যেহেতু দুটি রেখা পরস্পর লম্ব হলে তাদের ঢালদ্বয়ের গুণফল $-1$ হয়, সেহেতু:

$m_1\times m_2=-1$

$\Rightarrow (-\frac{8}{25})\times m_2=-1$

$\Rightarrow m_2=\frac{25}{8}$

$OC$ রেখার লম্বের ঢাল $\frac{25}{8}$