সৃজনশীলঃ ‘50 kg ভরের…’ চট্টগ্রাম বোর্ড ২০২৪ – কাজ শক্তি ক্ষমতা, পদার্থবিজ্ঞান, পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্র (এইচএসসি)

ধরা যাক, m ভরের কোনো একটি কণার উপর একটি সংরক্ষণশীল বল $\overrightarrow{F}$ ক্রিয়া করার ফলে কণাটি A বিন্দু থেকে B বিন্দুতে গেল। কণাটির গতিপথের কোনো এক বিন্দুতে কণার বেগ হলে 'আমরা পাই, 

$\overrightarrow{F}\cdot \mathrm{dr}=m\frac{d\overrightarrow{v}}{dt}\cdot \overrightarrow{vdt}=m\overrightarrow{v}\cdot d\overrightarrow{v}=d\left(\frac{1}{2}m{v}^2\right)$

$\therefore A$ থেকে B বিন্দুতে যেতে বল  $\overrightarrow{F}$ কর্তৃক কৃতকাজ,

$W={\int }_A^B\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{r}={\int }_{v_A}^{v_B}d\left(\frac{1}{2}m{v}^2\right)=\frac{1}{2}m{v}_B^2-\frac{1}{2}m{v}_A^2$

এখানে, A ও B বিন্দুতে কণাটির বেগ যথাক্রমে, $v_A$ ও $v_B$

আমরা জানি, সংরক্ষণশীল বল স্থিতিশক্তির ঋণাত্মক নতি মাত্রার সমান 

অর্থাৎ, $F=-\frac{\mathrm{dU}}{\mathrm{dr}}$

বা$\begin{array}{cc}& \text{ বা, }\overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{\mathrm{dr}}=-\mathrm{dU}\\ & \therefore W={\int }_A^B\overrightarrow{F}\cdot {\mathrm{dr}}^{-}=-{\int }_{U_A}^{U^B}dU=U_A-U_B\end{array}$

এখানে, $U_A$ ও $U_B$ যথাক্রমে  $A$ ও $B$ বিন্দুতে কণাটির স্থিতিশক্তি।

অতএব, $U_A-U_B=\frac{1}{2}m{v}^2{}_B-\frac{1}{2}{m{v}^2}_A$
$\therefore \frac{1}{2}{\mathrm{mv}}_A^2+U_A=\frac{1}{2}{\mathrm{mv}}_B^2+U_B$

সুতরাং, $\frac{1}{2}{\mathrm{mv}}_1^2+U=$ ধ্রুবক

অর্থাৎ, সংরক্ষণশীল বলের ক্রিয়ায় যান্ত্রিক শক্তি সংরক্ষিত থাকে।

এখানে, মোট ভর, m = (50 kg + 20 kg) = 70 kg

দূরত্ব, PQ = s = 5m

অনুভূমিকের সাথে উৎপন্ন কোণ, $\theta ={35}^{\circ }$

'অভিকর্ষজ ত্বরণ, g = 9.8 ms^-2

PQ পথে কৃতকাজ, W = ?

আমরা জানি, 

$\begin{array}{cc}W& =\mathrm{mg}\sin \theta s\\ & =70\mathrm{kg}\times 9.8m{s}^{-2}\times \sin {35}^{\circ }\times 5m\\ & =1967.367J\end{array}$

অতএব, P বিন্দু থেকে বিন্দুতে পৌঁছাতে কৃতকাজের পরিমাণ 1967.367 J.

$PQ$ পথে $v_0$ আদি বেগে $a_1$ ত্বরণে $s_1$ দূরত্ব অতিক্রম করে $Q$ বিন্দুতে শেষ বেগ, $v=0$, সময় $t_1$ হলে,

আমরা পাই, $s_1=\left(\frac{v_0+v}{2}\right)t_1$

বা, $t_1=\frac{2s_1}{v_0}$ ....................................(i)

আবার, $RQ$ পথে $v_0$ আদিবেগে $a_2$ ত্বরণে $s_2$ দূরত্ব অতিক্রম করে Q বিন্দুতে শেষবেগ, $v=0$, সময় $t_2$ হলে,

আমরা পাই, $s_2=\left(\frac{v_0+v}{2}\right)t_2$

বা, $t_2=\frac{2s_2}{v_0}$ .......................................(ii)

উভয় ক্ষেত্রে Q বিন্দুতে পৌঁছাতে কৃতকাজ W

PQ এর ক্ষেত্রে ক্ষমতা, $P_1=\frac{W}{t_1}$.................................(iii)

এবং RQ এর ক্ষেত্রে ক্ষমতা,  $P_2=\frac{W}{t_2}$ ....................... (iv)

(iii) ÷ (iv) হতে পাই,

$\frac{P_1}{P_2}=\frac{W}{t_1}\times \frac{t_2}{W}=\frac{t_2}{t_1}=\frac{2s_2}{v_0}\times \frac{v_0}{2s_1}$

বা, $\frac{P_1}{P_2}=\frac{s_2}{s_1}$.......................................(v)

এখানে, $\mathrm{PQ}=s_1=5m$
সমকোণী $△\mathrm{PQN}$ হতে পাই,

$\sin {35}^{\circ }=\frac{h}{s_1}$

বা, $h=s_1\sin {35}^{\circ }$
বা, $h=5m\times \sin {35}^{\circ }=2.86788\mathrm{in}$

আবার, সমকোণী $\Delta$ QNR হতে পাই,

$\sin {55}^{\circ }=\frac{h}{s_2}[\mathrm{QR}=s_2]$

বা, $s_2=\frac{2.86788m}{\sin {55}^{\circ }}$
বা, $s_2=3.501m$

$s_1$ এবং $s_2$ এর মান (v) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

$\frac{P_1}{P_2}=\frac{3.501m}{5m}=0.7$

বা, $P_1=0.7P_2$
এখানে, $P_1<P_2$

সুতরাং, PQ পথে সে কম ক্ষমতা ব্যয়ে Q বিন্দুতে পৌঁছাতে পারবে।