সৃজনশীলঃ ‘60 kg ভরের…’ বরিশাল বোর্ড ২০১৭ – নিউটনীয় বলবিদ্যা, পদার্থবিজ্ঞান, পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্র (এইচএসসি)

কোন সিস্টেমে বাইরে থেকে কোন টর্ক প্রযুক্ত না হলে কৌণিক ভরবেগের (L) কোন পরিবর্তন হয় না। নিজ অক্ষের চারদিকে ঘূর্ণায়মান কোন ব্যক্তি তার হাত বা পা প্রসারিত করলে তার জড়তার ভ্রামক বেড়ে যায়, কিন্তু এতে কোন টর্ক বা ঘূর্ণন পরিবর্তনকারী বল প্রযুক্ত হয় না। তাই কৌণিক ভরবেগের কোন পরিবর্তন হয় না। একইভাবে ব্যক্তি যদি তার অঙ্গপ্রত্যঙ্গকে অক্ষের দিকে চাপিয়ে আনার চেষ্টা করে, তবে তার জড়তার ভ্রামক কমে যায় এবং কৌণিক ভরবেগের সংরক্ষণশীলতার সূত্রানুযায়ী তার কৌণিক বেগ বৃদ্ধি পায়। $L=I\omega$ সূত্রানুসারে I এর মান অর্ধেক $\left(\frac{I}{2}\right)$ হলে $L$ অপরিবর্তিত রাখার জন্য $L=I\omega =\left(\frac{I}{2}\right)$$\left(2\omega \right)$ হবে। অর্থাৎ কৌণিক ভরবেগের মান দ্বিগুণ হয়ে যাবে।

দেওয়া আছে,

প্রথম ক্ষেত্রে প্রতি মিনিটে ঘূর্ণন সংখ্যা, $n_1=20$
দ্বিতীয় ক্ষেত্রে প্রতি মিনিটে ঘূর্ণন সংখ্যা, $n_2=30$

ধরা যাক,
১ম ক্রেত্রে নৃত্যশিল্পীর জড়তার ভ্রামক $I_1$ এবং কৌণিক বেগ ${\omega }_1$

এবং দ্বিতীয় ক্ষেত্রে জড়তার ভ্রামক $I_2$ এবং কৌণিক বেগ ${\omega }_2$

${\omega }_1=\frac{2\pi n_1}{60}=\frac{2\pi \times 20}{60}=\frac{2}{3}\pi \mathrm{rad}/\sec$.
এবং ${\omega }_2=\frac{2\pi n_2}{60}=\frac{2\pi \times 30}{60}=\pi \mathrm{rad}/\sec$.

আবার কৌণিক ভরবেগের সংরক্ষণশীলতার সূত্রানুসারে,

$I_1{\omega }_1=I_2{\omega }_2$
$\therefore I_2=\frac{{\omega }_1}{{\omega }_2}{I}_1=\frac{\frac{2}{3}\pi }{\pi }{I}_1=\frac{2}{3}{I}_1$

সুতরাং দ্বিতীয় ক্ষেত্রে জড়তার ভ্রামক প্রথম ক্ষেত্রের $\frac{2}{3}$ গুণ হবে। (Ans.)

‘গ’ অংশ থেকে পাই,
১ম ক্ষেত্রে কৌণিক কম্পাঙ্ক, ${\omega }_1=\frac{2}{3}\pi \mathrm{rad}/\sec$.
পরিবর্তিত কৌণিক কম্পাঙ্ক, ${\omega }_2=\pi \mathrm{rad}/\sec$.
১ম ক্ষেত্রে জড়তার ভ্রামক = $I_1$
পরিবর্তিত জড়তার ভ্রামক, $I_2=\frac{2}{3}{I}_1$

সুতরাং ১ম ক্ষেত্রে কৌণিক গতিশক্তি, $E_1=\frac{1}{2}{I}_1{\omega }_1^2$
এবং পরিবর্তিত কৌণিক গতিশক্তি, $E_2=\frac{1}{2}{I}_2{\omega }_2^2$

$\therefore \frac{E_2}{E_1}=\frac{\frac{1}{2}{I}_2{\omega }_2^2}{\frac{1}{2}{I}_1{\omega }_1^2}=\frac{\frac{2}{3}{I}_1\times {\pi }^2}{I_1\times \frac{4}{9}{\pi }^2}=\frac{2}{3}\times \frac{9}{4}=\frac{3}{2}=1.5$
$\therefore E_2=1.5E_1$

অতএব, নৃত্যশিল্পীর পরিবর্তিত কৌণিক গতিশক্তি দ্বিগুণ নয় বরং 1.5 গুণ হবে।