সৃজনশীলঃ ‘8×2+2x−(b+4)=0 এবং y2+y+1=0…’ ময়মনসিংহ বোর্ড ২০২২ – বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

প্রদত্ত ১ম সমীকরণ, $8x^2+2x-(b+4)=0$

ধরি, $8x^2+2x-(b+4)=0$ এর মূলদ্বয় $\alpha \cdot {\alpha }^2$

সুতরাং, $\alpha +{\alpha }^2=-\frac{2}{8}$

বা, $\alpha +{\alpha }^2=-\frac{1}{4}$

বা, $4{\alpha }^2+4\alpha =-1$

বা, $4{\alpha }^2+4\alpha +1=0$

বা, $(2\alpha {)}^2+2\cdot 2\alpha \cdot 1+1^2=0$

বা, $(2\alpha +1{)}^2=0$

বা, $2\alpha +1=0$

$\therefore \alpha =-\frac{1}{2}$

এবং $\alpha \cdot {\alpha }^2=\frac{-(b+4)}{8}$

বা, ${\alpha }^3=\frac{-(b+4)}{8}$,

বা, ${(-\frac{1}{2})}^3=\frac{-(b+4)}{8}$

বা, $-\frac{1}{8}=\frac{-(b+4)}{8}$

বা, $b+4=1$

$\therefore b=-3$

নির্ণেয় মান $:b=-3$.

প্রদত্ত ২য় সমীকরণ, $y^2+y+1=0$

বা, $y=\frac{-1\pm \sqrt{1^2-4.1.1}}{2.1}=\frac{-1\pm \sqrt{-3}}{2}$

$\therefore$ ধরি, সমীকরণটির মূলদ্বয়,

$\alpha =\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}$ এবং $\beta =\frac{-1-\sqrt{-3}}{2}$

তাহলে, ${\alpha }^2={\left(\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}\right)}^2$

$\begin{array}{c}=\frac{1+2(-1)\sqrt{-3}-3}{4}\\ =\frac{-2-2\sqrt{-3}}{4}=\frac{-1-(-1)\sqrt{-3}}{2}=\beta \end{array}$

$\therefore {\alpha }^2=\beta$

এবং ${\beta }^2={\left(\frac{-1-\sqrt{-3}}{2}\right)}^2$

$=\frac{1-2(-1)\sqrt{-3}-3}{4}$

$=\frac{-2+2\sqrt{-3}}{4}=\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}=\alpha$

$\therefore {\beta }^2=\alpha$

অতএব, ${\alpha }^2=\beta$ এনং ${\beta }^2=\alpha$. (দেখানো হলো)