সৃজনশীলঃ ‘A(0,−2) ও B(−2,0)…’ রাজশাহী বোর্ড ২০২৫ – বৃত্ত, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

ধরি, বৃত্তের সমীকরণ:

$x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\dots \dots \left(1\right)$

বৃত্তটি $A(0,-2)$ বিন্দুগামী,

$\therefore 0^2+(-2{)}^2+2g(0)+2f(-2)+c=0$

$\Rightarrow 4-4f+c=0\dots \dots \left(2\right)$

আবার, বৃত্তটি $B(-2,0)$ বিন্দুগামী,

$\therefore (-2{)}^2+0^2+2g(-2)+2f(0)+c=0$

$\Rightarrow 4-4g+c=0\dots \dots \left(3\right)$

দেওয়া আছে, বৃত্তটি $x$-অক্ষকে স্পর্শ করে। সুতরাং আমরা জানি, $g^2=c$।

$\left(3\right)$ নং সমীকরণে $c=g^2$ বসিয়ে পাই,

$4-4g+g^2=0$

$\Rightarrow (g-2{)}^2=0$

$\therefore g=2$

$g$ এর মান বসিয়ে পাই, $c=g^2=2^2=4$।

$c=4$ মানটি $\left(2\right)$ নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

$4-4f+4=0$

$\Rightarrow 8-4f=0$

$\therefore f=2$

এখন $g,f$ ও $c$ এর মান $\left(1\right)$ নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

$x^2+y^2+2\left(2\right)x+2\left(2\right)y+4=0$

$\therefore x^2+y^2+4x+4y+4=0$

নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ $x^2+y^2+4x+4y+4=0$।

প্রদত্ত বৃত্তের সমীকরণ,

$x^2+y^2-2x-4y+1=0$

$\Rightarrow x^2+y^2+2(-1)x+2(-2)y+1=0\dots \dots \left(1\right)$

এখানে, $g=-1,f=-2$ এবং $c=1$।

$\therefore$ বৃত্তটির কেন্দ্র $(-g,-f)=(1,2)$

এবং ব্যাসার্ধ, $r=\sqrt{g^2+f^2-c}=\sqrt{(-1{)}^2+(-2{)}^2-1}=\sqrt{1+4-1}=\sqrt{4}=2$ একক।

ধরি, $B(-2,0)$ বিন্দুগামী এবং $m$ ঢালবিশিষ্ট স্পর্শকের সমীকরণ:

$y-0=m(x-(-2\left)\right)$

$\Rightarrow y=m(x+2)$

$\Rightarrow mx-y+2m=0\dots \dots \left(2\right)$

যেহেতু $\left(2\right)$ নং রেখাটি বৃত্তের একটি স্পর্শক, তাই কেন্দ্র $(1,2)$ হতে স্পর্শকের লম্ব দূরত্ব বৃত্তের ব্যাসার্ধের সমান হবে।

প্রশ্নমতে,

$\frac{\left|m\right(1)-2+2m|}{\sqrt{m^2+(-1{)}^2}}=2$

$\Rightarrow \frac{|3m-2|}{\sqrt{m^2+1}}=2$

উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই,

$\frac{(3m-2{)}^2}{m^2+1}=4$

$\Rightarrow 9m^2-12m+4=4m^2+4$

$\Rightarrow 9m^2-4m^2-12m=0$

$\Rightarrow 5m^2-12m=0$

$\Rightarrow m(5m-12)=0$

হয়, $m=0$

অথবা, $5m-12=0\Rightarrow m=\frac{12}{5}$

এখন, $m$ এর মান $\left(2\right)$ নং সমীকরণে বসিয়ে পাই:

যখন $m=0$,

$0\cdot x-y+2\left(0\right)=0\Rightarrow y=0$

যখন $m=\frac{12}{5}$,

$\frac{12}{5}x-y+2\left(\frac{12}{5}\right)=0$

$\Rightarrow 12x-5y+24=0$ (উভয়পক্ষকে $5$ দ্বারা গুণ করে)

নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ $y=0$ অথবা $12x-5y+24=0$।