সৃজনশীলঃ ‘A(0,3),B(−1,0),s=x2+y2+4x+6y−12…’ কুমিল্লা ক্যাডেট কলেজ ২০২৫ – বৃত্ত, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

ধরি, বৃত্তটির সমীকরণ, $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$

বৃত্তটি y অক্ষকে স্পর্শ করলে, $f^2=c$

$\therefore x^2+y^2+2gx+2fy+f^2=0$

(2) নং বৃত্ত $(0,3)$ ও $(-1,0)$ বিন্দুগামী,

$\therefore 0+3^2+2g\cdot 0+2f\cdot 3+f^2=0$

বা, $f^2+6f+9=0$

বা, $(f+3{)}^2=0$

বা, $f+3=0$

$\therefore f=-3$

আবার, $(-1{)}^2+0^2+2g(-1)+2f.0+f^2=0$

বা, $1-2g+f^2=0$

বা, $2g=1+f^2$

বা, $g=\frac{1+f^2}{2}=\frac{1+(-3{)}^2}{2}=5[\because f=-3]$

আবার, $c=f^2=(-3{)}^2=9$

$\therefore c=9$

এখন, $g,f,c$ এর মান (1) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

$x^2+y^2+2\times 5\times x+2\times (-3)\times y+9=0$

বা, $x^2+y^2+10x-6y+9=0$

ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।

$\therefore$ বৃত্তটির কেন্দ্র $(-g,-f)\equiv (-5,3)$

এবং ব্যাসাধ $=\sqrt{g^2+f^2-c}=\sqrt{5^2+(-3{)}^2-9}$ একক

$=\sqrt{25+9-9}$ একক $=\sqrt{25}$ একক $=5$ একক

নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ, $x^2+y^2+10x-6y+9=0$ বৃত্তের কেন্দ্র $(-5,3)$ এবং ব্যাসার্ধ 5 একক।

দেওয়া আছে, $S=x^2+y^2+4x+6y-12$

এখানে, $S=0$

বা, $x^2+y^2+4x+6y-12=0$ ..... (1)

$A(1,1)$ বিন্দুটি (1) নং বৃত্তের উপর অবস্থিত হলে, বৃত্তটির বামপক্ষে $x=1,y=1$ বসিয়ে পাই,

বামপক্ষ $=1^2+1^2+4\times 1+6\times 1-12$

$=1+1+4+6-12=12-12=0=$ ডানপক্ষ

অর্থাৎ, $A(1,1)$ বিন্দুটি $S=0$ বৃত্তের উপর অবস্থিত।

আবার, (1) নং হতে পাই, $x^2+y^2+2\cdot 2\cdot x+2\cdot 3\cdot f-12=0$.

এখানে, $g=2,f=3$ এবং $c=-12$

$\therefore$ বৃত্তটির কেন্দ্র c $(-2,-3)$

ধরি, A $(1,1)$ বিন্দুগামী ব্যাসের অপর প্রান্তের স্থানাঙ্ক B $(\alpha ,\beta )$

$\therefore (1,1)$ ও $(\alpha ,\beta )$ বিন্দুর সংযোজক রেখার মধ্যবিন্দু হলো বৃত্তটির কেন্দ্র।

প্রশ্নমতে, $(\frac{\alpha +1}{2},\frac{\beta +1}{2})=(-2,-3)$

$\therefore \frac{\alpha +1}{2}=-2$

বা, $\alpha +1=-4\therefore \alpha =-5$

$\therefore B(-5,-7)$

এবং $\frac{\beta +1}{2}=-3$

বা, $\beta +1=-6\therefore \beta =-7$

নির্ণেয় অপর প্রান্তের স্থানাঙ্ক $(-5,–7)$