সৃজনশীলঃ ‘A(1,−1),B(2,−2)এবং (3,1) তিনটি…’ চট্টগ্রাম কলেজ ২০২৪ – সরলরেখা, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

এখানে, A বিন্দুর স্থানাঙ্ক$(1,-1)$

B বিন্দুর স্থানাঙ্ক$(2,-2)$

$C$বিন্দুর স্থানঙ্ক $(3,1)$

এবং $\mathrm{PQ}$রেখার সমীকরণ, $3x+y-3=0$ ..... (1)

$AB$সরলরেখার, সমীকরণ, $\frac{x-x_1}{x_1-x_2}=\frac{y-y_1}{y_1-y_2}$

বা, $\frac{x-1}{1-2}=\frac{y-(-1)}{-1-(-2)}$

বা, $\frac{x-1}{-1}=\frac{y+1}{-1+2}$

বা, $x-1=-y-1$

$\therefore x+y=0$

$\mathrm{AB}$রেখার লম্বরেখার সমীকরণ, $x-y+k=0$যা$C(3,1)$বিন্দুগামী $\therefore 3-1+k=0$

$\therefore k=-2$

$k=-2$ হলে, লম্বরেখার সমীকরণ, $x-y-2=0$ ...... (2)

(1) নং হতে পাই, $y=-3x+3$

$\therefore$ (1)নং রেখার ঢাল, $m_1=-3$

(2)নং হতে পাই, $y=x-2$

$\therefore$ (2)নং রেখার ঢাল, $m_2=1$

সুতরাং (1)নংও (2)নং রেখার অন্তর্গত কোণ,

$\theta ={\tan }^{-1}(\pm \frac{m_1-m_2}{1+m_1{m}_2})$

$={\tan }^{-1}(\pm \frac{-3-1}{1-3\times 1})$

$={\tan }^{-1}(\pm \frac{-4}{-2})={\tan }^{-1}(\pm 2)$

নির্ণেয় কোণ ${\tan }^{-1}(\pm 2)$.

$A$ও $C$বিন্দু স্থানাঙ্ক যথাক্রমে $(1,-1)$ও $(3,1)$

$\mathrm{AC}$সরলরেখার সমীকরণ, $\frac{x-1}{1-3}=\frac{y-(-1)}{-1-1}$

বা, $\frac{x-1}{-2}=\frac{y+1}{-2}$

বা, $x-1=y+1$

$\therefore x-y-2=0....\left(1\right)$

$PQ$সরলরেখার সমীকরণ, $3x+y-3=$ ...... (2)

এখন, (1) ও (2)নং যোগ করে পাই,

$x-y-2+3x+y-3=0$

বা, $4x-5=0$

বা, $4x=5$

$\therefore x=\frac{5}{4}$

$x$এর মান (1)নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

$\frac{5}{4}-y-2=0$

বা, $y=\frac{5}{4}-2=\frac{5-8}{4}=\frac{-3}{4}$

$\therefore y=-\frac{3}{4}$

$\therefore$ (1) ও (2)নং রেখার ছেদবিন্দু $(\frac{5}{4},-\frac{3}{4})$

মনে করি, নির্ণেয় রেখার সমীকরণ, $\frac{x}{a}\pm \frac{y}{a}=1$

বা, $x\pm y=a$যা$(\frac{5}{4},-\frac{3}{4})$বিন্দুগামী,

সুতরাং, (+) চিহ্ন নিয়ে পাই,

$\frac{5}{4}-\frac{3}{4}=a$

বা, $\frac{2}{4}=a$

$\therefore a=\frac{1}{2}$

(-) চিহ্ন নিয়ে পাই, $\frac{5}{4}+\frac{3}{4}=a$

বা, $\frac{8}{4}=a$

$\therefore a=2$

$a=\frac{1}{2}$হলে রেখাটির সমীকরণ, $x+y=\frac{1}{2}$

বা, $2x+2y=1$

$a=2$ হলে রেখাটির সমীকরণ, $x-y=2$

নির্ণেয় সরলরেখাদ্বয়, $x-y=2$ এবং $2x+2y=1$.