সৃজনশীলঃ ‘A(1,5),B(r,2),C(3,−4) এবং D(6,0)…’ ময়মনসিংহ বোর্ড ২০২৪ – সমতলীয় ভেক্টর, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

দেওয়া আছে, ABCD চতুর্ভুজের শীর্ষবিন্দুগুলো A(1, 5), B(r, 2), $C(3,-4)$ এবং $D(6,0)$.

বিন্দুগুলি ঘড়ির কাঁটার বিপরীতে নিয়ে

ABCD চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল $=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{ccccc}1& r& 3& 6& 1\\ 5& 2& -4& 0& 5\end{array}\right|$

$=\frac{1}{2}\left\{\right(2-4r+0+30)-(5r+6-24+0\left)\right\}$

$=\frac{1}{2}(32-4r-5r+18)$

$=\frac{1}{2}(50-9r)$

শর্তমতে, $\frac{1}{2}(50-9r)=34$

বা, $50-9r=68$

বা, $9r=50-68$

বা, $r=\frac{-18}{9}$

$\therefore r=-2$

নির্ণেয় মান : $r=-2$.

এখানে, △ ACD-এর AD ও CD বাহুদ্বয়ের মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P ও Q। P, Q যোগ করি। প্রমাণ করতে হবে যে,

$PQ\Vert AC$ এবং $PQ=\frac{1}{2}AC$

প্রমাণ: P ও Q যথাক্রমে AD ও CD এর মধ্যবিন্দু।

$\therefore \overrightarrow{\mathrm{DP}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{DA}}$ এবং $\overrightarrow{\mathrm{DQ}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{DC}}$

$△\mathrm{DPQ}$ হতে ভেক্টর যোগের ত্রিভুজ বিধি অনুসারে পাই,

$\overrightarrow{\mathrm{DP}}+\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\overrightarrow{\mathrm{DQ}}$

বা, $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\overrightarrow{\mathrm{DQ}}-\overrightarrow{\mathrm{DP}}$

বা, $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{DC}}-\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{DA}}$

বা, $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{\mathrm{DC}}-\overrightarrow{\mathrm{DA}})........\left(1\right)$

আবার, $△\mathrm{ADC}$ হতে ভেক্টর যোগের ত্রিভুজ বিধি অনুসারে,

$\overrightarrow{\mathrm{DA}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm{DC}}$

$\therefore \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm{DC}}-\overrightarrow{\mathrm{DA}}.........\left(2\right)$

(1) ও (2) হতে পাই,

$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$

বা, $|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|=\frac{1}{2}|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|$

$\therefore \mathrm{PQ}=\frac{1}{2}\mathrm{AC}$

আবার, $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$ ও $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ ভেক্টরদ্বয়ের ধারক রেখা একই বা সমান্তরাল। কিন্তু এখানে ধারক রেখা এক নয়। সুতরাং $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$ ও $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ ভেষ্টরদ্বয়ের ধারক রেখাদ্বয় PQ এবং AC সমান্তরাল।

$\therefore \mathrm{PQ}\Vert \mathrm{AC}$ এবং $\mathrm{PQ}=\frac{1}{2}\mathrm{AC}$. (প্রমাণিত)