সৃজনশীলঃ ‘A=[112−103011] এবং Q=[ll21+l3mm21+m3nn21+n3]…’ ২০২৬ – ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে,

$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ -1& 0& 3\\ 0& 1& 1\end{array}\right]$

প্রথমে $A$ ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ক $\left|A\right|$ বের করতে হবে:

$\left|A\right|=1(0-3)-1(-1-0)+2(-1-0)$

$\left|A\right|=1(-3)-1(-1)+2(-1)$

$\left|A\right|=-3+1-2=-4$

যেহেতু $\left|A\right|\ne 0$, তাই $A^{-1}$ নির্ণয়যোগ্য।

এখন $A$ এর সহগুণক (Cofactor) গুলো বের করি:

$A_{11}=+(0-3)=-3$

$A_{12}=-(-1-0)=1$

$A_{13}=+(-1-0)=-1$

$A_{21}=-(1-2)=1$

$A_{22}=+(1-0)=1$

$A_{23}=-(1-0)=-1$

$A_{31}=+(3-0)=3$

$A_{32}=-(3-(-2\left)\right)=-5$

$A_{33}=+(0-(-1\left)\right)=1$

সহগুণক ম্যাট্রিক্স, $C=\left[\begin{array}{ccc}-3& 1& -1\\ 1& 1& -1\\ 3& -5& 1\end{array}\right]$

অ্যাডজয়েন্ট ম্যাট্রিক্স, $\text{adj}\left(A\right)=C^T=\left[\begin{array}{ccc}-3& 1& 3\\ 1& 1& -5\\ -1& -1& 1\end{array}\right]$

অতএব, বিপরীত ম্যাট্রিক্স $A^{-1}=\frac{1}{\left|A\right|}\text{adj}\left(A\right)$

$A^{-1}=-\frac{1}{4}\left[\begin{array}{ccc}-3& 1& 3\\ 1& 1& -5\\ -1& -1& 1\end{array}\right]$

দেওয়া আছে, $\left|Q\right|=0$

$\left|Q\right|=\left|\begin{array}{ccc}l& l^2& 1+l^3\\ m& m^2& 1+m^3\\ n& n^2& 1+n^3\end{array}\right|$

নির্ণায়কের ধর্ম অনুযায়ী ৩য় কলামটিকে দুটি নির্ণায়কের যোগফল রূপে লেখা যায়:

$\left|Q\right|=\left|\begin{array}{ccc}l& l^2& 1\\ m& m^2& 1\\ n& n^2& 1\end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccc}l& l^2& l^3\\ m& m^2& m^3\\ n& n^2& n^3\end{array}\right|$

দ্বিতীয় নির্ণায়কের ১ম, ২য় ও ৩য় সারি থেকে যথাক্রমে $l$, $m$ ও $n$ কমন নিয়ে পাই:

$\left|Q\right|=\left|\begin{array}{ccc}l& l^2& 1\\ m& m^2& 1\\ n& n^2& 1\end{array}\right|+lmn\left|\begin{array}{ccc}1& l& l^2\\ 1& m& m^2\\ 1& n& n^2\end{array}\right|$

প্রথম নির্ণায়কের কলামগুলোর স্থান পরিবর্তন করি ($C_2\leftrightarrow C_3$ এবং তারপর $C_1\leftrightarrow C_2$):

$\left|Q\right|=(-1{)}^2\left|\begin{array}{ccc}1& l& l^2\\ 1& m& m^2\\ 1& n& n^2\end{array}\right|+lmn\left|\begin{array}{ccc}1& l& l^2\\ 1& m& m^2\\ 1& n& n^2\end{array}\right|$

$\left|Q\right|=(1+lmn)\left|\begin{array}{ccc}1& l& l^2\\ 1& m& m^2\\ 1& n& n^2\end{array}\right|$

এখন $R_1^{\prime }=R_1-R_2$ এবং $R_2^{\prime }=R_2-R_3$ প্রয়োগ করে পাই:

$\left|Q\right|=(1+lmn)\left|\begin{array}{ccc}0& l-m& l^2-m^2\\ 0& m-n& m^2-n^2\\ 1& n& n^2\end{array}\right|$

১ম কলাম বরাবর বিস্তার করে:

$\left|Q\right|=(1+lmn)\cdot 1\cdot \left|\begin{array}{cc}l-m& l^2-m^2\\ m-n& m^2-n^2\end{array}\right|$

$\left|Q\right|=(1+lmn)\left|\begin{array}{cc}l-m& (l-m)(l+m)\\ m-n& (m-n)(m+n)\end{array}\right|$

১ম সারি থেকে $(l-m)$ এবং ২য় সারি থেকে $(m-n)$ কমন নিয়ে:

$\left|Q\right|=(1+lmn)(l-m)(m-n)\left|\begin{array}{cc}1& l+m\\ 1& m+n\end{array}\right|$

$\left|Q\right|=(1+lmn)(l-m)(m-n)(m+n-l-m)$

$\left|Q\right|=(1+lmn)(l-m)(m-n)(n-l)$

প্রশ্নমতে, $\left|Q\right|=0$

সুতরাং, $(1+lmn)(l-m)(m-n)(n-l)=0$

দেওয়া আছে $l,m,n$ অসমান।

অতএব $l\ne m\Rightarrow l-m\ne 0$

$m\ne n\Rightarrow m-n\ne 0$

$n\ne l\Rightarrow n-l\ne 0$

যেহেতু $(l-m)(m-n)(n-l)\ne 0$,

সেহেতু $1+lmn=0$

$\therefore lmn+1=0$ (দেখানো হলো)