সৃজনশীলঃ ‘A=[12101−1],Δ=[x−1231x−1132x−1]…’ রাজশাহী বোর্ড ২০২৩ – ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে,

$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 0& 1& -1\\ 3& -1& 1\end{array}\right]$

এবং $A^3-3A^2-A+9I=0$

বা, $A^{-1}(A^3-3A^2-A+9I)=A^{-1}.0$

বা, $A^{-1}\cdot A^3-3A^{-1}{A}^2-A^{-1}A+9A^{-1}\cdot I=0$

বা, $A^{-1}\cdot A\cdot A^2-3A^{-1}\cdot A\cdot A-I+9A^{-1}=0$

$[\because A^{-1}\cdot A=I$ এবং $A^{-1}\cdot I=A^{-1}]$

বা, $I\cdot A^2-3I\cdot A-I+9A^{-1}=0$

বা, $A^2-3A-I+9A^{-1}=0$

বা, $9A^{-1}=3A-A\cdot A+I$

=$3\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 0& 1& -1\\ 3& -1& 1\end{array}\right]-\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 0& 1& -1\\ 3& -1& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 0& 1& -1\\ 3& -1& 1\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{ccc}3& 6& 3\\ 0& 3& -3\\ 9& -3& 3\end{array}\right]-\left[\begin{array}{ccc}1+0+3& 2+2-1& 1-2+1\\ 0+0-3& 0+1+1& 0-1-1\\ 3-0+3& 6-1-1& 3+1+1\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{ccc}3& 6& 3\\ 0& 3& -3\\ 9& -3& 3\end{array}\right]-\left[\begin{array}{ccc}4& 3& 0\\ -3& 2& -2\\ 6& 4& 5\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{ccc}3-4+1& 6-3+0& 3-0+0\\ 0+3+0& 3-2+1& -3+2+0\\ 9-6+0& -3-4+0& 3-5+1\end{array}\right]$

বা, $9A^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}0& 3& 3\\ 3& 2& -1\\ 3& -7& -1\end{array}\right]$

$\therefore A^{-1}=\frac{1}{9}\left[\begin{array}{ccc}0& 3& 3\\ 3& 2& -1\\ 3& -7& -1\end{array}\right]$

নির্ণেয় $A^{-1}=\frac{1}{9}\left[\begin{array}{ccc}0& 3& 3\\ 3& 2& -1\\ 3& -7& -1\end{array}\right]$

= R. H.S

দেওয়া আছে, $\Delta =\left[\begin{array}{ccc}x-1& 2& 3\\ 1& x-1& 1\\ 3& 2& x-1\end{array}\right]$

$\therefore \Delta +I=\left[\begin{array}{ccc}x-1& 2& 3\\ 1& x-1& 1\\ 3& 2& x-1\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{ccc}x-1+1& 2+0& 3+0\\ 1+0& x-1+1& 1+0\\ 3+0& 2+0& x-1+1\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{ccc}x& 2& 3\\ 1& x& 1\\ 3& 2& x\end{array}\right]$

এখান, $|\Delta +I|=0$

বা, $\left|\begin{array}{ccc}x& 2& 3\\ 1& x& 1\\ 3& 2& x\end{array}\right|=0$

বা; $x(x^2-2)-2(x-3)+3(2-3x)=0$

বা, $x^3-2x-2x+6+6-9x=0$

বা, $x^3-13x+12=0$

বা, $x^3-x^2+x^2-x-12x+12=0$

বা, $x^2(x-1)+x(x-1)-12(x-1)=0$

বা, $(x-1)(x^2+x-12)=0$

বা, $(x-1)(x^2-3x+4x-12)=0$

বা, $(x-1)\left\{x\right(x-3)+4(x-3\left)\right\}=0$

বা, $(x-1)(x-3)(x+4)=0$

হয়, $x-1=0$

বা, $x=1$.

অথবা, $x-3=0$

বা, $x=3$

অথবা, $x+4=0$

বা, $x=-4$

নির্ণেয় সমাধান: $x=-4,1,3$.