সৃজনশীলঃ ‘A=(12101−13−11)Δ=(x−1231x−1132x−1)…’ ২০২৪ – ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে,

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 0& 1& -1\\ 3& -1& 1\end{array}\right)$

এবং $A^3-3A^2-A+9I=0$

বা, $A^{-1}\cdot A^3-3\cdot A^{-1}\cdot A+9\cdot I{A}^{-1}=0\times A^{-1}$

বা, $A^2-3A-I+9A^{-1}=0$

বা, $9A^{-1}=I+3A-A^2$

$\therefore A^{-1}=\frac{1}{9}(I+3A+A^2)$

$\begin{array}{cc}\therefore A^2=A\cdot A=A& =\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 0& 1& -1\\ 3& -1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 0& 1& -1\\ 3& -1& 1\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}1+0+3& 2+2-1& 1-2+1\\ 0+0-3& 0+1+1& 0-1-1\\ 3+0+3& 6-1-1& 3+1+1\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}4& 3& 0\\ -3& 2& -2\\ 6& 4& 5\end{array}\right)\end{array}$

$\therefore I+3A-A^2=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)+3\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 0& 1& -3\\ 3& -1& 1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{ccc}4& 3& 0\\ -3& 2& -2\\ 6& 4& 5\end{array}\right)$

$=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{ccc}3& 6& 3\\ 0& 3& -9\\ 9& -3& 3\end{array}\right)+\left(\begin{array}{ccc}-4& -3& 0\\ 3& -2& 2\\ -6& -4& -5\end{array}\right)$

$=\left(\begin{array}{ccc}1+3-4& 0+6-3& 0+3+0\\ 0+0+3& 1+3-2& 0-9+2\\ 0+9-6& 0-3-4& 1+3-5\end{array}\right)$

$=\left(\begin{array}{ccc}0& 3& 3\\ 3& 2& -7\\ 3& -7& -1\end{array}\right)$

$\therefore A^{-1}=\frac{1}{9}(I+3A-A^2)$

$=\frac{1}{9}\left(\begin{array}{ccc}0& 3& 3\\ 3& 2& -7\\ 3& -7& -1\end{array}\right)$

(Ans).

দেওয়া আছে,

$\Delta =\left(\begin{array}{ccc}x-1& 2& 3\\ 1& x-1& 1\\ 3& 2& x-1\end{array}\right)$

প্রশ্নমতে,

1 একটি অভেদক ম্যাট্রিক্স

$\therefore 1=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

$|\Delta +1|=0$

$\Rightarrow |\left(\begin{array}{ccc}x-1& 2& 3\\ 1& x-1& 1\\ 3& 2& x-1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)|=0$

$\Rightarrow \left|\begin{array}{ccc}x-1+1& 2+0& 3+0\\ 1+0& x-1+1& 1+0\\ 3+0& 2+0& x-1+1\end{array}\right|=0$

$\Rightarrow \left|\begin{array}{ccc}x& 2& 3\\ 1& x& 1\\ 3& 2& x\end{array}\right|=0$

$=>x(x^2-2)-2(x-3)+3(2-3x)=0$ [১ম সারি বরাবর বিস্তার করে]

$\Rightarrow x^3-2x-2x+6+6-9x=0$

$\Rightarrow x^3-13x+12=0$

$\Rightarrow x^3-x^2+x^2-x-12x+12=0$

$=>x^2(x-1)+x(x-1)-12(x-1)=0$

$=>(x-1)(x^2+x-12)=0$

$=>(x-1)(x^2+4x-3x-12)=0$

$=>(x-1)(x+4)(x-3)=0$

$\therefore x=1,3,-4$

[ইহাই নির্ণেয় সমাধান]

Ans.