সৃজনশীলঃ ‘A=[12−13−13231],B=[5711],X=[xyz].…’ ২০২৬ – ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& -1\\ 3& -1& 3\\ 2& 3& 1\end{array}\right]$

$\therefore |A|=\left|\begin{array}{ccc}1& 2& -1\\ 3& -1& 3\\ 2& 3& 1\end{array}\right|$

$=1(-1-9)-2(3-6)-1(9+2)$

$=-10+6-11=-15\ne 0$

$\therefore A^{-1}$ নির্ণয়যোগ্য।

A এর সহগুণকসমূহ :

$A_{11}=\left|\begin{array}{cc}-1& 3\\ 3& 1\end{array}\right|$

$=-1-9=-10$

$A_{12}=-\left|\begin{array}{cc}3& 3\\ 2& 1\end{array}\right|$

$=-(3-6)=3$

$A_{13}=\left|\begin{array}{cc}3& -1\\ 2& 3\end{array}\right|$

$=9+2=11$

$A_{21}=-\left|\begin{array}{cc}2& -1\\ 3& 1\end{array}\right|$

$=-(2+3)=-5$

$A_{22}=\left|\begin{array}{cc}1& -1\\ 2& 1\end{array}\right|$

$=1+2=3$

$A_{23}=-\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 3\end{array}\right|$

$=-(3-4)=1$

$A_{31}=\left|\begin{array}{cc}2& -1\\ -1& 3\end{array}\right|$

$=6-1=5$

$A_{32}--\left|\begin{array}{cc}1& -1\\ 3& 3\end{array}\right|$

$=-(3+3)=-6$

$A_{33}=\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& -1\end{array}\right|$

$=-1-6=-7$

$\therefore Adj\left(A\right)={\left[\begin{array}{ccc}-10& 3& 11\\ -5& 3& 1\\ 5& -6& -7\end{array}\right]}^T=\left[\begin{array}{ccc}-10& -5& 5\\ 3& 3& -6\\ 11& 1& -7\end{array}\right]$

$\therefore A^{-1}=\frac{1}{\left|A\right|}\mathrm{Adj}\left(A\right)$

$=\frac{1}{-15}\left[\begin{array}{ccc}-10& -5& 5\\ 3& 3& -6\\ 11& 1& -7\end{array}\right]=\frac{1}{15}\left[\begin{array}{ccc}10& 5& -5\\ -3& -3& 6\\ -11& -1& 7\end{array}\right]$

নির্ণেয় $A^{-1}=\frac{1}{15}\left[\begin{array}{ccc}10& 5& -5\\ -3& -3& 6\\ -11& -1& 7\end{array}\right]$

দেওয়া আছে, $A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& -1\\ 3& -1& 3\\ 2& 3& 1\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{c}5\\ 7\\ 11\end{array}\right]$

এবং $X=\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ 2\end{array}\right]$

এখন, $\mathrm{AX}=B$

বা, $\left[\begin{array}{ccc}1& 2& -1\\ 3& -1& 3\\ 2& 3& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}5\\ 7\\ 11\end{array}\right]$

বা, $\left[\begin{array}{c}x+2y-z\\ 3x-y+3z\\ 2x+3y+z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}5\\ 7\\ 11\end{array}\right]$

$\therefore x+2y-z=5$

$3x-y+3z=7$

$2x+3y+z=11$

$x,y$ ও z এর সহগগুলো নিয়ে গঠিত নির্ণায়ক,

$D=\left|\begin{array}{ccc}1& 2& -1\\ 3& -1& 3\\ 2& 3& 1\end{array}\right|$

$=1(-1-9)-2(3-6)-1(9+2)$

$=-10+6-11=-15$

$\therefore D_x=\left|\begin{array}{ccc}5& 2& -1\\ 7& -1& 3\\ 11& 3& 1\end{array}\right|$

$=5(-1-9)-2(7-33)-1(21+11)$

$=-50+52-32=-30$

$D_y=\left|\begin{array}{ccc}1& 5& -1\\ 3& 7& 3\\ 2& 11& 1\end{array}\right|$

$=1(7-33)-5(3-6)-1(33-14)$

$=-26+15-19=-30$

$D_z=\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 5\\ 3& -1& 7\\ 2& 3& 11\end{array}\right|$

$=1(-11-21)-2(33-14)+5(9+2)$

$=-32-38+55=-15$

$\therefore x=\frac{D_x}{D}=\frac{-30}{-15}=2,y=\frac{D_y}{D}=\frac{-30}{-15}=2$

এবং $z=\frac{D_z}{D}=\frac{-15}{-15}=1.$

নির্ণেয় সমাধান : $(x,y,z)=(2,2,1)$.