সৃজনশীলঃ ‘A=(1−23),X=(xyz),B=(1−231504−21)C=((m+n)2l2l2 m2(n+l)2 m2n2n2(l+m)2)…’ যশোর বোর্ড ২০২৩ – ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $A=\left(\begin{array}{ccc}1& -2& 3\end{array}\right)$

$A^T={\left(\begin{array}{ccc}1& -2& 3\end{array}\right)}^T=\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 3\end{array}\right)$

$B=\left(\begin{array}{ccc}1& -2& 3\\ 1& 5& 0\\ 4& -2& 1\end{array}\right)$

এবং $X=\left(\begin{array}{ccc}x& y& z\end{array}\right)$

$\therefore X^T={\left(\begin{array}{ccc}x& y& z\end{array}\right)}^T=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)$

এখন, ${\mathrm{BX}}^T=A^T$

বা, $\left(\begin{array}{ccc}1& -2& 3\\ 1& 5& 0\\ 4& -2& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 3\end{array}\right)$

$y=\left(\begin{array}{c}x-2y+3z\\ x+5y+0z\\ 4x-2y+z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 3\end{array}\right)$

ম্যট্রিক্সের সমতা অনুসারে পাই,

$x-2y+3z=1$

$x+5y+0z=-2$

$4x-2y+z=3$

$x,y$ ও $z$ এর সহগগুচ্ছ নিয়ে গঠিত নির্ণায়ক,

$D=\left|\begin{array}{ccc}1& -2& 3\\ 1& 5& 0\\ 4& -2& 1\end{array}\right|$

$=1(5+0)+2(1-0)+3(-2-20)$

$=5+2-66=7-66=-59$

এখন, $D_x=\left|\begin{array}{ccc}1& -2& 3\\ -2& 5& 0\\ 3& -2& 1\end{array}\right|=1(5+0)+2(-2-0)+3(4-15)$

$=5-4-33=5-37=-32$

$D_y=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 3\\ 1& -2& 0\\ 4& 3& 1\end{array}\right|$

$=1(-2-0)-1(1-0)+3(3+8)$

$=-2-1+33=33-3=30$

$D_z=\left|\begin{array}{ccc}1& -2& 1\\ 1& 5& -2\\ 4& -2& 3\end{array}\right|$

$=1(15-4)+2(3+8)+1(-2-20)=11+22-22=11$

$\therefore x=\frac{D_x}{D}=\frac{-32}{-59}=\frac{32}{59};y=\frac{D_y}{D}=\frac{30}{-59}=-\frac{30}{59}$

$z=\frac{D_z}{D}=\frac{11}{-59}=-\frac{11}{59}$

নির্ণেয় সমাধান : $(x,y,z)=(\frac{32}{59},-\frac{30}{59},-\frac{11}{59})$.

দেওয়া আছে, $C=\left(\begin{array}{ccc}(m+n{)}^2& l^2& l^2\\ m^2& (n+l{)}^2& m^2\\ n^2& n^2& (l+m{)}^2\end{array}\right)$

$\therefore |C|=\left|\begin{array}{ccc}(m+n{)}^2& l^2& l^2\\ m^2& (n+l^2& m^2\\ n^2& n^2& (l+m{)}^2\end{array}\right|$

এবংপ্রয়োগকরে$=\left|\begin{array}{ccc}(m+n{)}^2& l^2-(m+n{)}^2& l^2-(m+n{)}^2\\ m^2& (n+n^2-m^2& m^2-m^2\\ n^2& n^2-n^2& (l+m{)}^2-n^2\end{array}\right|\left[\begin{array}{c}{c}_2^{\prime }=c_2-c_1\text{ এবং }\\ c_3^{\prime }=c_3-c_1\text{ প্রয়োগ করে }\end{array}\right]$

$=\left|\begin{array}{ccc}(m+n{)}^2& (l+m+n)(l-m-n)& (l+m+n)(l-m-n)\\ m^2& (l+m+n)(l-m+n)& 0\\ n^2& (l+m+n)(l+m-n)\end{array}\right|$

প্রয়োগকরেএবংপ্রয়োগকরে$\begin{array}{cc}& =\left|\begin{array}{ccc}(m+n{)}^2& (l+m+n)(l-m-n)& (l+m+n)(l-m-n)\\ m^2& (l+m+n)(l-m+n)& 0\\ n^2& 0& (l+m+n)(l+m-n)\end{array}\right|\\ & =(l+m+n{)}^2\left|\begin{array}{ccc}(m+n{)}^2& l-m-n& l-m-n\\ m^2& l-m+n& 0\\ n^2& 0& l+m-n\end{array}\right|\\ & =(l+m+n{)}^2\left|\begin{array}{ccc}2\mathrm{mn}& -2n& -2m\\ m^2& l-m+n& 0\\ n^2& 0& l+m-n\end{array}\right|\\ & [r_1^{\prime }=r_1-r_2-r_3\text{ প্রয়োগ করে] }\\ & =2(l+m+n{)}^2\left|\begin{array}{ccc}\mathrm{mn}& -n& -m\\ m^2& l-m+n& 0\\ n^2& 0& l+m-n\end{array}\right|\\ & =2(l+m+n{)}^2\left|\begin{array}{ccc}\mathrm{mn}& 0& 0\\ m^2& n+l& \frac{m^2}{n}\\ n^2& \frac{n^2}{m}& l+m\end{array}\right|\left[\begin{array}{c}{c}_2^{\prime }=c_2+\frac{1}{y}{c}_1\text{ এবং }\\ c_3^{\prime }=c_3+\frac{1}{z}{c}_1\text{ প্রয়োগ করে }\end{array}\right]\\ & \end{array}$

$=2(l+m+n{)}^2\mathrm{mn}\left|\begin{array}{cc}n+l& \frac{m^2}{n}\\ \frac{n^2}{m}& l+m\end{array}\right|$

$=2(l+m+n{)}^2\mathrm{mn}(nl+l^2+\mathrm{mn}+lm-\mathrm{mn})$

$=2\mathrm{mn}(l+m+n{)}^2\cdot l(l+m+n)$

$=2l\mathrm{mn}(l+m+n{)}^3$

$\therefore |C|=2\mathrm{lmn}(l+m+n{)}^3)$ (দেখানো হলো)