সৃজনশীলঃ ‘A=[133313331]…’ রাজশাহী বোর্ড ২০২২ – ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $A=\left[\begin{array}{ccc}1& 3& 3\\ 3& 1& 3\\ 3& 3& 1\end{array}\right]$

$A^2=A\cdot A=\left[\begin{array}{ccc}1& 3& 3\\ 3& 1& 3\\ 3& 3& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 3& 3\\ 3& 1& 3\\ 3& 3& 1\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{ccc}1\cdot 1+3\cdot 3+3\cdot 3& 1\cdot 3+3\cdot 1+3\cdot 3& 1\cdot 3+3\cdot 3+3\cdot 1\\ 3\cdot 1+1\cdot 3+3\cdot 3& 3\cdot 3+1\cdot 1+3\cdot 3& 3\cdot 3+1\cdot 3+3\cdot 1\\ 3\cdot 1+3\cdot 3+1\cdot 3& 3\cdot 3+3\cdot 1+1\cdot 3& 3\cdot 3+3\cdot 3+1\cdot 1\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{ccc}19& 15& 15\\ 15& 19& 15\\ 15& 15& 19\end{array}\right]$

এখন, $A^2-5A-14I$

$=\left[\begin{array}{ccc}19& 15& 15\\ 15& 19& 15\\ 15& 15& 19\end{array}\right]-5\left[\begin{array}{ccc}1& 3& 3\\ 3& 1& 3\\ 3& 3& 1\end{array}\right]-14\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{ccc}19& 15& 15\\ 15& 19& 15\\ 15& 15& 19\end{array}\right]-\left[\begin{array}{ccc}5& 15& 15\\ 15& 5& 15\\ 15& 15& 5\end{array}\right]-\left[\begin{array}{ccc}14& 0& 0\\ 0& 14& 0\\ 0& 0& 14\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right];$ ; যা একটি শূন্য ম্যাট্রিক্স

$\therefore A^2-5A-14I$ - একটি শূন্য ম্যাট্রিক্স। (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে, $A=\left[\begin{array}{ccc}1& 3& 3\\ 3& 1& 3\\ 3& 3& 1\end{array}\right]$

$\therefore |A|=1(1-9)-3(3-9)+3(9-3)$

$=-8+18+18=28\ne 0$

$\therefore A^{-1}$ বিদ্যমান।

$AdjA={\left[\begin{array}{ccc}{A}_{11}& A_{12}& A_{13}\\ A_{21}& A_{22}& A_{23}\\ A_{31}& A_{32}& A_{33}\end{array}\right]}^T$

A-এর সহগুণকসমূহ :

$A_{11}=\left|\begin{array}{cc}1& 3\\ 3& 1\end{array}\right|=1-9=-8$

$A_{12}=-\left|\begin{array}{cc}3& 3\\ 3& 1\end{array}\right|=-(3-9)=6$

$A_{13}=\left|\begin{array}{cc}3& 1\\ 3& 3\end{array}\right|=9-3=6$

$A_{21}=-\left|\begin{array}{cc}3& 3\\ 3& 1\end{array}\right|=-(3-9)=6$

$A_{22}=\left|\begin{array}{cc}1& 3\\ 3& 1\end{array}\right|=1-9=-8$

$A_{23}=\left|\begin{array}{cc}1& 3\\ 3& 3\end{array}\right|=-(3-9)=6$

$A_{31}=-\left|\begin{array}{cc}3& 3\\ 1& 3\end{array}\right|=9-3=6$

$A_{32}=-\left|\begin{array}{cc}1& 3\\ 3& 3\end{array}\right|=-(3-9)=6$

$A_{33}=\left|\begin{array}{cc}1& 3\\ 3& 1\end{array}\right|=1-9=-8$

$\therefore \mathrm{Adj}A={\left[\begin{array}{ccc}-8& 6& 6\\ 6& -8& 6\\ 6& 6& -8\end{array}\right]}^T=\left[\begin{array}{ccc}-8& 6& 6\\ 6& -8& 6\\ 6& 6& -8\end{array}\right]$

$\therefore A^{-1}=\frac{1}{\left|A\right|}\mathrm{Adj}A=\frac{1}{28}\left[\begin{array}{ccc}-8& 6& 6\\ 6& -8& 6\\ 6& 6& -8\end{array}\right]$

নির্ণেয় $A^{-1}=\frac{1}{28}\left[\begin{array}{ccc}-8& 6& 6\\ 6& -8& 6\\ 6& 6& -8\end{array}\right]$