সৃজনশীলঃ ‘A(2, 4), B(3,…’ রাজশাহী বোর্ড ২০১৭ – সরলরেখা, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

$\mathrm{AB}$ সরলরেখার সমীকরণ, $\frac{x-2}{2-3}=\frac{y-4}{4-1}$

বা, $\frac{x-2}{-1}=\frac{y-4}{3}$

বা, $3x-6=-y+4$

$\therefore 3x+y-10=0$

(i) নং সরলরেখার উপর অঙ্কিত লম্ব রেখার সমীকরণ,

$x-3y+k=0$

(ii) নং $C(4,5)$ বিন্দুগামী।

$4-3\times 5+k=0$

বা, $4-15+k=0\therefore k=11$

$k$ এর মান

(ii) নং এ বসিয়ে, $x-3y+11=0$$$

(i) নং কে 3 দ্বারা গুণ করে (iii) নং এর সাথে যোগ করেে পাই,

$9x+3y-30+x-3y+11=0$

বা, $10x-19=0\therefore x=\frac{19}{10}$

$x$ এর মান (iii) নং এ বসিয়ে পাই,

$\frac{19}{10}-3y+11=0$

বা, $3y=\frac{19+110}{10}\therefore y=\frac{129}{30}=\frac{43}{10}$

$\therefore$ পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক $(x,y)=(\frac{19}{10},\frac{43}{10})$ (Ans.)

$2x-y+2=0\dots \dots \left(iv\right)$

$x-2y+3=0\dots \dots \left(v\right)$

(iv) ও (v) নং এর ক্ষেত্রে, $a_1=2,b_1=-1,a_2=1,b_2=-2$

এখানে, $a_1{a}_2+b_1{b}_2=2\times 1+(-1)(-2)=2+2=4>0$

অর্থাৎ, ঋণাত্মক চিহ্ন হতে প্রাপ্ত সমদ্বিখণ্ডকটি হবে সূক্মকোণের সমদ্বিখণ্ডক।

(iv) ও (v) নং রেখাদ্বয়ের মধ্যবত্তী সূক্মকোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ, $\frac{2x-y+2}{\sqrt{2^2+(-1{)}^2}}=-\frac{x-2y+3}{\sqrt{1^2+(-2{)}^2}}$

বা, $\frac{2x-y+2}{\sqrt{5}}=-\frac{x-2y+3}{\sqrt{5}}$

বা, $2x-y+2=-x+2y-3$

বা, $3x-3y=-5$ বা, $\frac{3x}{-5}-\frac{3y}{-5}=1$

$\therefore \frac{x}{\frac{-5}{3}}+\frac{y}{\frac{5}{3}}=1$ ইহ $x$-অক্ষকে $P(\frac{-5}{3},0)$ এবং $y$-অক্ষকে  $Q(0,\frac{5}{3})$ বিন্দুতে ছেদ করে । মূলবিন্দু $O(0,0)$

$\therefore \mathrm{OP}=|-\frac{5}{3}|=\frac{5}{3}$ এবং $\mathrm{OQ}=\frac{5}{3}$

$\therefore △\mathrm{OPQ}$ এর ক্ষেত্রেল $=\frac{1}{2}\times \mathrm{OP}\times \mathrm{OQ}$

$=\frac{1}{2}\times \frac{5}{3}\times \frac{5}{3}$

$=\frac{25}{18}$ বগ একক (Ans.)