সৃজনশীলঃ ‘A=[2012131−10]এবং B=[51−220234−3]…’ ২০২৪ – ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $A=\left[\begin{array}{ccc}2& 0& 1\\ 2& 1& 3\\ 1& -1& 0\end{array}\right]$

$\therefore A^2=A\times A$

$=\left[\begin{array}{ccc}2& 0& 1\\ 2& 1& 3\\ 1& -1& 0\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{ccc}2& 0& 1\\ 2& 1& 3\\ 1& -1& 0\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{ccc}4+0+1& 0+0-1& 2+0+0\\ 4+2+3& 0+1-3& 2+3+0\\ 2-2+0& 0-1+0& 1-3+0\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{ccc}5& -1& 2\\ 9& -2& 5\\ 0& -1& -2\end{array}\right]$

প্রদত্ত রাশি $=A^2-5A+4I$

$=\left[\begin{array}{ccc}5& -1& 2\\ 9& -2& 5\\ 0& -1& -2\end{array}\right]-5\left[\begin{array}{ccc}2& 0& 1\\ 2& 1& 3\\ 1& -1& 0\end{array}\right]+4\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{ccc}5-10+4& -1+0+0& 2-5+0\\ 9-10+0& -2-5+4& 5-15+0\\ 0-5+0& -1+5+0& -2-0+4\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{ccc}-1& -1& -3\\ -1& -3& -10\\ -5& 4& 2\end{array}\right].$

এখন, $A^2-5A+4I+X=0$বা, $\left[\begin{array}{ccc}-1& -1& -3\\ -1& -3& -10\\ -5& 4& 2\end{array}\right]+X=0$

বা, $X=-\left[\begin{array}{ccc}-1& -1& -3\\ -1& -3& -10\\ -5& 4\end{array}\right]$বা, $X=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 3\\ 1& 3& 10\\ 5& -4& -2\end{array}\right]$

$\therefore |X|=|\begin{array}{ccc}1& 1& 3\\ 1& 3& 10\\ 5& -4& -2\end{array}]$

$=1(-6+40)-1(-2-50)+3(-4-15)$

$=34+52-57=29$ (Ans.)

দেওয়া আছে, $B=\left[\begin{array}{ccc}5& 1& -2\\ 2& 0& 2\\ 3& 4& -3\end{array}\right]$

$\therefore |B|=5(0-8)-1(-6-6)-2(8-0)$

$=-40+12-16=-44$

$\mathrm{adj}B={\left[\begin{array}{ccc}\left|\begin{array}{cc}0& 2\\ 4& -3\end{array}\right|& -\left|\begin{array}{cc}2& 2\\ 3& -3\end{array}\right|& \left|\begin{array}{cc}2& 0\\ 3& 4\end{array}\right|\\ \left|\begin{array}{cc}1& -2\\ 4& -3\end{array}\right|& \left|\begin{array}{cc}5& -2\\ 3& -3\end{array}\right|& -\begin{array}{cc}5& 1\\ 3& 4\end{array}|\\ \left|\begin{array}{cc}1& -2\\ 0& 2\end{array}\right|& -\left|\begin{array}{cc}5& -2\\ 2& 2\end{array}\right|& \left|\begin{array}{cc}5& 1\\ 2& 0\end{array}\right|\end{array}\right]}^t$

$={\left[\begin{array}{ccc}-8& 12& 8\\ -5& -9& -17\\ 2& -14& -2\end{array}\right]}^t=\left[\begin{array}{ccc}-8& -5& 2\\ 12& -9& -14\\ 8& -17& -2\end{array}\right]$

$\therefore B^{-1}=\frac{1}{\left|B\right|}$ adj $B=\frac{1}{-44}\left[\begin{array}{ccc}-8& -5& 2\\ 12& -9& -14\\ 8& -17& -2\end{array}\right]$ (Ans.)