সৃজনশীলঃ ‘A=[2−1130−21−41],X=[xyz] এবং C=[3−12]…’ ২০২৫ – ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $\mathrm{AB}=1\therefore B=A^{-1}$

এবং $A=\left[\begin{array}{ccc}2& -1& 1\\ 3& 0& -2\\ 1& -4& 1\end{array}\right]$

$\therefore |A|=2(0-8)+1(3+2)+1(-12-0)$

$=-16+5-12=-23\ne 0$

$\therefore$ A ${}^{-1}$ নির্ণয়যোগ্য।

Adj $A={\left[\begin{array}{ccc}{A}_{11}& A_{12}& A_{13}\\ A_{21}& A_{22}& A_{23}\\ A_{31}& A_{32}& A_{33}\end{array}\right]}^T$

A এর সহগুণকসমূহ:

$A_{11}=\left|\begin{array}{cc}0& -2\\ -4& 1\end{array}\right|$

$=0-8--8$

$A_{12}=-\left|\begin{array}{cc}3& -2\\ 1& 1\end{array}\right|$

$=-(3+2)=-5$

$A_{13}=\left|\begin{array}{cc}3& 0\\ 1& -4\end{array}\right|$

$=-12-0=-12$

$A_{21}=-\left|\begin{array}{cc}-1& 1\\ -4& 1\end{array}\right|$

$=-(-1+4)=-3$

$A_{22}=\left|\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right|$

$=2-1=1$

$A_{23}=-\left|\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& -4\end{array}\right|$

$=-(-8+1)=7$

$A_{31}=\left|\begin{array}{cc}-1& 1\\ 0& -2\end{array}\right|$

$=2-0=2$

$A_{32}=-\left|\begin{array}{cc}2& 1\\ 3& -2\end{array}\right|$

$=-(-4-3)=7$

$A_{33}=\left|\begin{array}{cc}2& -1\\ 3& 0\end{array}\right|$

$=0+3=3$

$\therefore AdjA={\left[\begin{array}{ccc}-8& -5& -12\\ -3& 1& 7\\ 2& 7& 3\end{array}\right]}^T$

$=\left[\begin{array}{ccc}-8& -3& 2\\ -5& 1& 7\\ -12& 7& 3\end{array}\right]$

এখানে, $B=A^{-1}=\frac{1}{\left|A\right|}$ Adj $A$

অর্থাৎ, $B=\frac{1}{-23}\left[\begin{array}{ccc}-8& -3& 2\\ -5& 1& 7\\ -12& 7& 3\end{array}\right]=\frac{1}{23}\left[\begin{array}{ccc}8& 3& -2\\ 5& -1& -7\\ 12& -7& -3\end{array}\right]$

নির্ণেয় $B=\frac{1}{23}\left[\begin{array}{ccc}8& 3& -2\\ 5& -1& -7\\ 12& -7& -3\end{array}\right]$

দেওয়া আছে, $A=\left[\begin{array}{ccc}2& -1& 1\\ 3& 0& -2\\ 1& -4& 1\end{array}\right],X=\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right],C=\left[\begin{array}{c}3\\ -1\\ 2\end{array}\right]$

এখন, $AX=C$

বা, $\left[\begin{array}{ccc}2& -1& 1\\ 3& 0& -2\\ 1& -4& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}3\\ -1\\ 2\end{array}\right]$

বা, $\left[\begin{array}{c}2x-y+z\\ 3x+0y-2z\\ x-4y+z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}3\\ -1\\ 2\end{array}\right]$

$\therefore$ ম্যাট্রিক্সের সমতা অনুসারে পাই,

$2x-y+z=3$

$3x+0.y-2z=-1$

$x-4y+z=2$

$x,y,z$ এর সহগগুচ্ছ নিয়ে গঠিত নির্ণায়ক

$D=\left|\begin{array}{ccc}2& -1& 1\\ 3& 0& -2\\ 1& -4& 1\end{array}\right|$

$=2(0-8)+1(3+2)+1(-12-0)$

$=-16+5-12=-23\ne 0$

এখন, $D_x=\left|\begin{array}{ccc}3& -1& 1\\ -1& 0& -2\\ 2& -4& 1\end{array}\right|$

$=3(0-8)+1(-1+4)+1(4-0)=-24+3+4=-17$

$D_y=\left|\begin{array}{ccc}2& 3& 1\\ 3& -1& -2\\ 1& 2& 1\end{array}\right|$

$=2(-1+4)-3(3+2)+1(6+1)=6-15+7=-2$

$D_z=\left|\begin{array}{ccc}2& -1& 3\\ 3& 0& -1\\ 1& -4& 2\end{array}\right|$

$=2(0-4)+1(6+1)+3(-12-0)$

$=-8+7-36=-37$

$\therefore x=\frac{D_x}{D}=\frac{-17}{-23}=\frac{17}{23},$

$y=\frac{D_x}{D}=\frac{-2}{-23}=\frac{2}{23}$

এবং $z=\frac{D_2}{D}=\frac{-37}{-23}=\frac{37}{23}$

$\therefore (x,y,z)=(\frac{17}{23}\frac{2}{23},\frac{37}{23}).$