সৃজনশীলঃ ‘A=[2−1131−452−3], D=8|p−q−r2ppqq−r−p2qrrr−p−q2|…’ ২০২৫ – ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $A=\left[\begin{array}{ccc}2& -1& 1\\ 3& 1& -4\\ 5& 2& -3\end{array}\right]$

$\therefore |A|=\left|\begin{array}{ccc}2& -1& 1\\ 3& 1& -4\\ 5& 2& -3\end{array}\right|$

$=2(-3+8)+1(-9+20)+1(6-5)$

$=10+11+1=22\ne 0$

$\therefore A^{-1}$ বিদ্যামান।

$A_{11}=\left|\begin{array}{cc}1& -4\\ 2& -3\end{array}\right|$

$=-3+8=5$

$A_{12}=-\left|\begin{array}{cc}3& -4\\ 5& -3\end{array}\right|$

$=-(-9+20)=-11$

$A_{13}=\left|\begin{array}{cc}3& 1\\ 5& 2\end{array}\right|$

$=6-5=1$

$A_{21}=-\left|\begin{array}{cc}-1& 1\\ 2& -3\end{array}\right|$

$=-(3-2)=-1$

$A_{22}=\left|\begin{array}{cc}2& 1\\ 5& -3\end{array}\right|$

$=-6-5=-11$

$A_{23}=-\left|\begin{array}{cc}2& -1\\ 5& 2\end{array}\right|$

$=-(4+5)=-9$

$A_{31}=\left|\begin{array}{cc}-1& 1\\ 1& -4\end{array}\right|$

$=4-1=3$

$A_{32}=-\left|\begin{array}{cc}2& 1\\ 3& -4\end{array}\right|$

$=-(-8-3)=11$

$A_{33}=\left|\begin{array}{cc}2& -1\\ 3& 1\end{array}\right|$

$=2+3=5$

$\mathrm{Adj}A={\left[\begin{array}{ccc}{A}_{11}& A_{12}& A_{13}\\ A_{21}& A_{22}& A_{23}\\ A_{31}& A_{32}& A_{33}\end{array}\right]}^T$

$={\left[\begin{array}{ccc}5& -11& 1\\ -1& -11& -9\\ 3& 11& 5\end{array}\right]}^T=\left[\begin{array}{ccc}5& -1& 3\\ -11& -11& 11\\ 1& -9& 5\end{array}\right]$

$A^{-1}=\frac{1}{\left|A\right|}\mathrm{Adj}A=\frac{1}{22}\left[\begin{array}{ccc}5& -1& 3\\ -11& -11& 11\\ 1& -9& 5\end{array}\right]$

নির্ণেয় $A^{-1}=\frac{1}{22}\left[\begin{array}{ccc}5& -1& 3\\ -11& -11& 11\\ 1& -9& 5\end{array}\right]$

দেওয়া আছে, $S=p+q+r$

এখন, $D=8\left|\begin{array}{ccc}\frac{p-q-r}{2}& p& p\\ q& \frac{q-r-p}{2}& q\\ r& r& \frac{r-p-q}{2}\end{array}\right|$

$=8.\frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2}\left|\begin{array}{ccc}p-q-r& 2p& 2p\\ 2q& q-r-p& 2q\\ 2r& 2r& r-p-q\end{array}\right|$

$=8.\frac{1}{8}\left|\begin{array}{ccc}p+q+r& p+q+r& p+q+r\\ 2q& q-r-p& 2q\\ 2r& 2r& r-p-q\end{array}\right|x_1^{\prime }=r_1+r_2+r_3$

$=(p+q+r)\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2q& q-r-p& 2q\\ 2r& 2r& r-p-q\end{array}\right|$

$=(p+q+r)\left|\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ p+q+r& -(p+q+r)& 2q\\ 0& p+q+r& r-p-a\end{array}\right|\begin{array}{c}{c}_1^{{}^{\prime }}=c_1-c_2\\ c_2^{{}^{\prime }}=c_2-c_3\end{array}$

$=(p+q+r{)}^3\left|\begin{array}{cc}p+q+r& -(p+q+r)\\ 0& p+q+r\end{array}\right|$

[১ম সারি সাপেক্ষে বিস্তার করে]

$=(p+q+r)(p+q+e{)}^2+0)$

$=(p+q+r{)}^3=S^3$ যেখানে $s=p+q+r]$

$\therefore D=s^3$ (প্রমাণিত)