সৃজনশীলঃ ‘A=[2−131111−12],B=[xyz],C=[254]…’ কুমিল্লা বোর্ড ২০২৩ – ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে,

$A=\left[\begin{array}{ccc}2& -1& 3\\ 1& 1& 1\\ 1& -1& 2\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right],C=\left[\begin{array}{c}2\\ 5\\ 4\end{array}\right]$

$\therefore AB=C$

$\Rightarrow \left[\begin{array}{ccc}2& -1& 3\\ 1& 1& 1\\ 1& -1& 2\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}2\\ 5\\ 4\end{array}\right]$

$\Rightarrow \left[\begin{array}{c}2x-y+3z\\ x+y+z\\ x-y+2z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}2\\ 5\\ 4\end{array}\right]$

ম্যাট্রিক্সের সমতা থেকে পাই,

$2x-y+3z=2$

$x+y+z=5$

$x-y+2z=4$

$x,y,z$ এর সহগের নির্ণায়ক

$D=\left|\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& 1\end{array}\right|=2(2+1)+1(2-1)+3(-1-1)$

$=6+1-6$

$=1\ne 0$

ধ্রুবক পদ, $y$ ও $z$ এর সহগের নির্ণয়ক,

$D_x=\left|\begin{array}{ccc}2& -1& 3\\ 5& 1& 1\\ 4& -1& 2\end{array}\right|$

$=2(2+1)+1(10-4)+3(-5-4)$

$=6+6-27$

$=-15$

x এর সহগ, ধ্রুবক পদ ও z এর সগগের নির্ণায়ক,

$D_y=\left|\begin{array}{ccc}2& 2& 3\\ 1& 5& 1\\ 1& 4& 2\end{array}\right|=2(10-4)-2(2-1)+3(4-5)$

$=12-2-3$

$=7+2$

$x,y$ এর সহগ এবং ধ্রুবক পদের নির্ণায়ক,

$D_z=\left|\begin{array}{ccc}2& -1& 2\\ 1& 1& 1\\ 1& -1& 4\end{array}\right|$

$=2(4+5)+1(4-5)+2(-1-1)$

$=18-1-4$

$=13$

$\therefore x=\frac{D_x}{D}=\frac{-15}{1}=-15$

$\therefore y=\frac{D_y}{D}=\frac{7}{1}=7$

$\therefore z=\frac{D_z}{D}=\frac{13}{1}=21$

$\therefore$ নির্ণেয় সমাধান : $(x,y,z)=(-15,7,13)$

দেওয়া আছে,

$A=\left[\begin{array}{ccc}2& -1& 3\\ 1& 1& 2\\ 1& -1& 2\end{array}\right]$

$\therefore |A|=\left|\begin{array}{ccc}2& -1& 3\\ 1& 1& 2\\ 1& -1& 2\end{array}\right|$

$=2(2+1)+1(2-1)+3(-1-1)$

$=6+1-6$

$=1\ne 0$, অব্যতিক্রমি ম্যাট্রিক্স।

|A| এর সহগুণক :

$A_{11}=(2+1)=3$

$A_{12}-(2-1)=-1$

$A_{13}=-1-1=-2$

$A_{21}=-(-2+3)=-1$

$A_{22}=(4-3)=1$

$A_{23}=-(-2+1)=1$

$A_{31}=-1-3=-4$

$A_{32}=-(2-3)=1$

$A_{33}=2+1=3$

$\begin{array}{cc}\therefore & \mathrm{adj}A={\left[\begin{array}{ccc}3& -1& -2\\ -1& 1& 1\\ -4& 1& 3\end{array}\right]}^T\end{array}$

$=\left[\begin{array}{ccc}3& -1& -4\\ -1& 1& 1\\ -2& 1& 3\end{array}\right]$

$\therefore A^{-1}=\frac{1}{\left|A\right|}\mathrm{adj}A$

$=\frac{1}{1}\left[\begin{array}{ccc}3& -1& -4\\ -1& 1& 1\\ -2& 1& 3\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{ccc}3& -1& -4\\ -1& 1& 1\\ -2& 1& 3\end{array}\right]$