সৃজনশীলঃ ‘A=[23−12021−20]f(t)=t2−3t+2 সমীকরণ জোটঃ…’ সিলেট বোর্ড ২০১৯ – ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেয়া আছে, $A=\left[\begin{array}{ccc}2& 3& -1\\ 2& 0& 2\\ 1& -2& 0\end{array}\right]$

এবং, $f\left(t\right)=t^2-3t+2$

অতএব, $f\left(A\right)=A^2-3A+2I$

এখন, $A^2=A.A$

$=\left[\begin{array}{ccc}2& 3& -1\\ 2& 0& 2\\ 1& -2& 0\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{ccc}2& 3& -1\\ 2& 0& 2\\ 1& -2& 0\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{ccc}4+6-1& 6+0+2& -2+6+0\\ 4+0+2& 6+0-4& -2+0+0\\ 2-4+0& -3+0+0& -1-4+0\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{ccc}9& 8& 4\\ 6& 2& -2\\ -2& -3& -5\end{array}\right]$

$3A=3\cdot \left[\begin{array}{ccc}2& 3& -1\\ 2& 0& 2\\ 1& -2& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}6& 9& -3\\ 6& 0& 6\\ 3& -6& 0\end{array}\right]$

এখন, $2I=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right]$

অতএব, $f\left(A\right)=A^2-3A+2I$

$=\left[\begin{array}{ccc}9& 8& 4\\ 6& 2& -2\\ -2& -3& -5\end{array}\right]-\left[\begin{array}{ccc}6& 9& -3\\ 6& 0& 6\\ 3& -6& 0\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{ccc}9-6+2& 8-9+0& 4+3+0\\ 6-6+0& 2-0+2& -2-6+0\\ -2-3+0& -3+6+0& -5-0+2\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{ccc}5& -1& 7\\ 0& 4& -8\\ -5& 3& -3\end{array}\right]$

দেয়া আছে, $x+y+z=6.......\left(1\right)$

$x-2y+2z=3......\left(2\right)$

$2x+y-z=1......\left(3\right)$

(1),(2) ও (3) নং হতে পাই,

$\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& -2& 2\\ 2& 1& -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}6\\ 3\\ 1\end{array}\right]$

বা, $X=B^{-1}C..........\left(4\right)$

এখন, $|B|=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& -2& 2\\ 2& 1& -1\end{array}\right]=1(2-2)-1(-1-4)+(1+4)=0+5+5=10\ne 0$

অর্থাৎ, $B^{-1}$ বিদ্যমান

B এর সহগগুলো নির্ণয় করিঃ

$B_{11}=\left|\begin{array}{cc}-2& 2\\ 1& -1\end{array}\right|$

$=2-2=0$

$B_{12}=\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& -1\end{array}\right|$

$=-(-1-4)=5$

$B_{13}=\left|\begin{array}{cc}1& -2\\ 2& 1\end{array}\right|$

$=1+4=5$

$B_{21}=-\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right|$

$=-1-1=-2$

$B_{22}=\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& -1\end{array}\right|$

$=-1-3=-3$

$B_{23}=-\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& -1\end{array}\right|$

$=-(1-2)=1$

$B_{31}=\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ -2& 2\end{array}\right|$

$=2+2=4$

$B_{32}=-\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right|$

$=-(2-1)=-1$

$B_{33}=-\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -2\end{array}\right|$

$=-2-1=-3$

অতএব, $AdjB={\left[\begin{array}{ccc}{B}_{11}& B_{12}& B_{13}\\ B_{21}& B_{22}& B_{23}\\ B_{31}& B_{32}& B_{33}\end{array}\right]}^T$

$={\left[\begin{array}{ccc}0& 5& 5\\ 2& -3& 1\\ 4& -1& -3\end{array}\right]}^T$

$={\left[\begin{array}{ccc}0& 2& 4\\ 5& -3& -1\\ 5& 1& -3\end{array}\right]}^T$

অতএব, $B^{-1}=\frac{AdjB}{\left|B\right|}$

$=\frac{1}{10}\left[\begin{array}{ccc}0& 2& 4\\ 5& -3& -1\\ 5& 1& -3\end{array}\right]$

(4) হতে পাই,

$\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]=\frac{1}{10}\left[\begin{array}{ccc}0& 2& 4\\ 5& -3& -1\\ 5& 1& -3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}6\\ 3\\ 1\end{array}\right]$

$=\frac{1}{10}\left[\begin{array}{c}0+6+4\\ 30-9-1\\ 30+3-3\end{array}\right]=\frac{1}{10}\left[\begin{array}{c}10\\ 20\\ 30\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right]$

অতএব, $x=1,y=2,z=3$

নির্ণেয় সমাধান : $(x,y,z)=(1,2,3)$