সৃজনশীলঃ ‘A(3,0) ও B(7,0)…’ আদমজী ক্যান্টনমেন্ট কলেজ ২০২৫ – বৃত্ত, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

ধরি, বৃত্তটির সমীকরণ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\dots \dots$(1)

(1) নং বৃত্তটি $A(3,0)$ বিন্দুগামী,

$\therefore 3^2+0+2g.3+2f.0+c=0$
$\therefore 9+6g+c=0\dots \dots \dots \left(2\right)$

এবং (1) নং বৃত্তটি $B(7,0)$ বিন্দুগামী

$\therefore 7^2+0+2g\times 7+0+c=0$
বা, $49+14g+c=0\dots \dots \dots$ (3)

(3) নং হতে (2) নং বিয়োগ করে পাই,

$49+14g+c-9-6g-c=0$

বা, $8g+40=0$

বা, $8g=-40$

$\therefore g=-5$

$g$ এর মান (2) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

$9+6\times (-5)+c=0$

বা, $9-30+c=0$

বা, $-21+c=0$

$\therefore c=21$

আবার, বৃত্তটি $y$-অক্ষকে স্পর্শ করলে, $f^2=c$

বা, $f^2=21$

$\therefore f=\pm \sqrt{21}$

$g,f$ এবং $c$ এর মান (1) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

$\begin{array}{cc}& x^2+y^2+2(-5)x+2(\pm \sqrt{21})y+21=0\\ \therefore & x^2+y^2-10x\pm 2\sqrt{21}y+21=0\end{array}$

নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ $x^2+y^2-10x\pm 2\sqrt{21}y+21=0$

প্রদত্ত বৃত্তের সমীকরণ, $x^2+y^2-2x-4y+1=0$

বা, $x^2-2x+1+y^2-4y+4=4$
বা, $(x-1{)}^2+(y-2{)}^2=2^2$. . . . . . . . . . . . . . . . .. (1)

∴ বৃত্তটির কেন্দ্র $(1,2)$ এবং ব্যাসার্ধ $=2.$

ধরি, $(-5,4)$ বিন্দুগামী স্পর্শকের ঢাল $=m$

এখন, $m$ ঢালবিশিষ্ট এবং $(-5,4)$ বিন্দুগামী যেকোনো সরলরেখার সমীকরণ,

$y-4=m(x+5)$
বা, $y-4=mx+5m$
$\therefore mx-y+5m+4=0$. . . . . . . . . . . . .(2)

(2) নং রেখাটি (1) নং বৃত্তের স্পর্শক হবে,

যদি কেন্দ্র $(1,2)$ থেকে রেখাটির লম্বের দৈর্ঘ্য ব্যাসার্ধের সমান হয়।

তাহলে, $\left|\frac{m\cdot 1-2+5m}{\sqrt{m^2+(-1{)}^2}}\right|=2$

বা, $\left|\frac{m-2+5m+4}{\sqrt{m^2+1}}\right|=2$
বা, $\left|\frac{6m+2}{\sqrt{m^2+1}}\right|=2$

বা, $6m+2=\pm 2\left(\sqrt{m^2+1}\right)$
বা, $(6m+2{)}^2=4(m^2+1)$ [বর্গ করে]
বা, $36m^2+24m+4=4m^2+4$
বা; $32m^2+24m=0$
বা, $4m^2+3m=0$
বা, $m(4m+3)=0$

$\therefore m=0,-\frac{3}{4}.$

$m$ এর মান (2) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

$m=0$ হলে, $0.x-y+5.0+4=0$

বা, $-y+4=0$ 

$\therefore y-4=0$

$m=-\frac{3}{4}$ হলে, $-\frac{3}{4}x-y+5(-\frac{3}{4})+4=0$

বা, $-3x-4y-15+16=0$

$\therefore 3x+4y-1=0.$

নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ, $y-4=0,3x+4y-1=0$