সৃজনশীলঃ ‘A(−3,4),B(6,4),C(5,−5) এবং D(−4,−5)…’ রাজশাহী বোর্ড ২০২৫ – স্থানাঙ্ক জ্যামিতি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

দেওয়া আছে, $A(-3,4),B(6,4),C(5,5)$ এবং $D(-4,-5)$ একটি চতুর্ভুজের চারটি শীর্ষবিন্দু।

বিন্দু চারটি $xy$ সমতলে স্থাপন করে দেখানো হলো।

AB বাহুর দৈর্ঘ্য = $=\sqrt{(-3-6{)}^2+(4-4{)}^2}$

$=\sqrt{(-9{)}^2+0}$ একক $=\sqrt{81}=9$ একক

AD বাহুর দৈর্ঘ্য $=\sqrt{(-3+4{)}^2+(4+5{)}^2}$ একক

$=\sqrt{1^2+9^2}$ একক $=\sqrt{1+81}=\sqrt{82}$ একক

$\mathrm{CD}$ বাহুর দৈর্ঘ্য $=\sqrt{(5+4{)}^2+(-5+5{)}^2}$ একক

$=\sqrt{9^2+0}$ একক $=\sqrt{81}$ একক $=9$ একক

$\mathrm{BC}$ বাহুর দৈর্ঘ্য $=\sqrt{(6-5{)}^2+(4+5{)}^2}$ একক

$=\sqrt{1^2+9^2}$ একক $=\sqrt{1+81}$ একক $=\sqrt{82}$ একক

$\therefore \mathrm{AB}$ বাহুর দৈর্ঘ্য $=\mathrm{CD}$ বাহুর দৈর্ঘ্য এবং AD বাহুর দৈর্ঘ্য $=\mathrm{BC}$ বাহুর দৈর্ঘ্য।

$\therefore \mathrm{ABCD}$ চতুর্ভুজটি আয়ত বা সামান্তরিক।

এখন, AC কর্ণের দৈর্ঘ্য $=\sqrt{(-3-5{)}^2+(4+5{)}^2}$ একক

$=\sqrt{(-8{)}^2+9^2}$ একক

$=\sqrt{64+81}$ একক $=\sqrt{145}$ একক

এবং BD কর্ণের দৈর্ঘ্য $=\sqrt{(6+4{)}^2+(4+5{)}^2}$ একক

$=\sqrt{{10}^2+9^2}$ একক

$=\sqrt{100+81}$ একক $=\sqrt{181}$ একক

যেহেতু কর্ণ AC $\ne$ কর্ণ BD

অতএব, ABCD চতুর্ভুজটি সামান্তরিক।

‘খ’ এর চিত্র হতে,

AD রেখার সমীকরণ, $\frac{y-4}{x-(-3)}=\frac{4-(-5)}{-3-(-4)}$

বা, $\frac{y-4}{x+3}=\frac{9}{1}$

বা, $9x+27=y-4$

AD রেখা x-অক্ষকে ছেদ করে । তাই y = 0

$\therefore 9x+27=0-4$

বা, $9x=-4-27$

$\therefore x=-\frac{31}{9}$

$\therefore \mathrm{AD}$ রেখার ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক $(\frac{-31}{9},0)$

আবার, CD রেখার সমীকরণ, $\frac{y+5}{x-5}=\frac{-5+5}{5+4}$

বা, $\frac{y+5}{x-5}=0$

বা, $y+5=0[\because x-5\ne 0]$

$\therefore y=-5$

$\therefore CD$ রেখার ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক $(0,-5)$

এখন তৃতীয় চতুর্ভাগে $(0,0),(\frac{-31}{9},0)(-4,-5)$ এবং $(0,-5)$ বিন্দুগুলো দ্বারা গঠিত চতুর্ভুজক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল

$=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{ccccc}0& \frac{-31}{9}& -4& 0& 0\\ 0& 0& -5& -5& 0\end{array}\right|$ বর্গ একক

$=\frac{1}{2}\{(0+\frac{155}{9}+20+0)-(0+0+0+0\left)\right\}$ বর্গ একক

$=\frac{1}{2}(\frac{155}{9}+20)$ বর্গ একক

$=\frac{1}{2}\times \frac{155+180}{9}$ বর্গ একক $=\frac{335}{18}$ বর্গ একক

$\therefore$ ABCD চতুর্ভুজের যে অংশ তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত তার ক্ষেত্রফল $\frac{335}{18}$ বর্গ একক ।