সৃজনশীলঃ ‘A=[3+x4242+x3234+x]…’ ২০২৬ – ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $A=\left[\begin{array}{ccc}3+x& 4& 2\\ 4& 2+x& 3\\ 2& 3& 4+x\end{array}\right]$

$|A|=0$ হলে, $\left[\begin{array}{ccc}3+x& 4& 2\\ 4& 2+x& 3\\ 2& 3& 4+x\end{array}\right]=0$

বা, $(3+x)\left\{\right(2+x\left)\right(4+x)-9\}-4(16+4x-6)+2(12-4-2x)=0$

বা, $(3+x)(x^2+6x+8-9)-4(4x+10)+2(8-2x)=0$

বা, $x^3+6x^2-x+3x^2+18x-3-16x-40+16-4x=0$

বা, $x^3+9x^2-3x-27=0$

বা, $x^2(x+9)-3(x+9)=0$

বা, $(x+9)(x^2-3)=0$

হয়, $x+9=0$

বা, $x=-9$

অথবা, $x^2-3=0$

বা, $x^2=3$

বা, $x=\pm \sqrt{3}$

নির্ণেয় সমাধান সেট $=\{-9,-\sqrt{3},\sqrt{3}\}$

দেওয়া আছে, $A=\left[\begin{array}{ccc}3+x& 4& 2\\ 4& 2+x& 3\\ 2& 3& 4+x\end{array}\right]$

$x=-1$ হলে, $A=\left[\begin{array}{ccc}2& 4& 2\\ 4& 1& 3\\ 2& 3& 3\end{array}\right]$

$\therefore |A|=2(3-9)-4(12-6)+2(12-2)$

$=-12-24+20=-16\ne 0$

$\because |A|\ne 0$

$\therefore A^{-1}$ বিদ্যমান।

এখন, $A_{11}=\left|\begin{array}{cc}1& 3\\ 3& 3\end{array}\right|$

$=3-9=-6$

$A_{12}=-\left|\begin{array}{cc}4& 3\\ 2& 3\end{array}\right|$

$=-(12-6)=-6$

$A_{13}=\left|\begin{array}{cc}4& 1\\ 2& 3\end{array}\right|$

$=12-2=10$

$A_{21}=-\left|\begin{array}{cc}4& 2\\ 3& 3\end{array}\right|$

$=-(12-6)=-6$

$A_{22}=\left|\begin{array}{cc}2& 2\\ 2& 3\end{array}\right|$

$=6-4=2$

$A_{23}=-\left|\begin{array}{cc}2& 4\\ 2& 3\end{array}\right|$

$=-(6-8)=2$

$A_{31}=\left|\begin{array}{cc}4& 2\\ 1& 3\end{array}\right|$

$=12-2=10$

$A_{32}=-\left|\begin{array}{cc}2& 2\\ 4& 3\end{array}\right|$

$=-(6-8)=2$

$A_{33}=\left|\begin{array}{cc}2& 4\\ 4& 1\end{array}\right|$

$=2-16=-14$

$AdjA={\left[\begin{array}{ccc}{A}_{11}& A_{12}& A_{13}\\ A_{21}& A_{22}& A_{23}\\ A_{31}& A_{32}& A_{33}\end{array}\right]}^T={\left[\begin{array}{ccc}-6& -6& 10\\ -6& 2& 2\\ 10& 2& -14\end{array}\right]}^T$

$=\left[\begin{array}{ccc}-6& -6& 10\\ -6& 2& 2\\ 10& 2& -14\end{array}\right]$

$A^{-1}=\frac{1}{\left|A\right|}AdjA=\frac{1}{-16}\left[\begin{array}{ccc}-6& -6& 10\\ -6& 2& 2\\ 10& 2& -14\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\frac{3}{8}& \frac{3}{8}& \frac{-5}{8}\\ \frac{3}{8}& \frac{-1}{8}& \frac{-1}{8}\\ \frac{-5}{8}& \frac{-1}{8}& \frac{7}{8}\end{array}\right]$

নির্ণেয় $A^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}\frac{3}{8}& \frac{3}{8}& \frac{-5}{8}\\ \frac{3}{8}& \frac{-1}{8}& \frac{-1}{8}\\ \frac{-5}{8}& \frac{-1}{8}& \frac{7}{8}\end{array}\right]$