সৃজনশীলঃ ‘A=[413M],B=[pqrp2q2r2p3−1q3−1r3−1] এবং C=[012123311]…’ চট্টগ্রাম বোর্ড ২০২১ – ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $B=\left[\begin{array}{ccc}p& q& r\\ p^2& q^2& r^2\\ p^3-1& q^3-1& r^3-1\end{array}\right]$

$\therefore |B|=\left|\begin{array}{ccc}p& q& r\\ p^2& q^2& r^2\\ p^3-1& q^3-1& r^3-1\end{array}\right|$

$=\left|\begin{array}{ccc}p& q& r\\ p^2& q^2& r^2\\ p^3& q^3& r^3\end{array}\right|-\left|\begin{array}{ccc}p& q& r\\ p^2& q^2& r^2\\ 1& 1& 1\end{array}\right|$

$=pqr\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ p& q& r\\ p^2& q^2& r^2\end{array}\right|-\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ p& q& r\\ p^2& q^2& r^2\end{array}\right|$

$=(pqr-1)\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ p& q& r\\ p^2& q^2& r^2\end{array}\right|$

$=(pqr-1)\left|\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ p-q& q-r& r\\ p^2-q^2& q^2-r^2& r^2\end{array}\right|$

[ $c_1^{\prime }=c_1-c_2$ এবং $c_2^{\prime }=c_2-c_3$ প্রয়োগ করে]

$=(pqr-1)\left|\begin{array}{cc}p-q& q-r\\ p^2-q^2& q^2-r^2\end{array}\right|$

$=(pqr-1)(p-q)(q-r)\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ p+q& q+r\end{array}\right|$

$=(pqr-1)(p-q)(q-r)(q+r-p-q)$

$=(pqr-1)(p-q)(q-r)(r-p)$

দেওয়া আছে, C=[ $\begin{array}{ccc}0& 1& 2\\ 1& 2& 3\\ 3& 1& 1\end{array}]$

$\therefore |C|=\left|\begin{array}{ccc}0& 1& 2\\ 1& 2& 3\\ 3& 1& 1\end{array}\right|$

$=0(2-3)-1(1-9)+2(1-6)$

$=0+8-10=-2\ne 0$

$\therefore C^{-1}$ বিদ্যমান।

$\mathrm{Adj}C={\left[\begin{array}{ccc}{C}_{11}& C_{12}& C_{13}\\ C_{21}& C_{22}& C_{23}\\ C_{31}& C_{32}& C_{33}\end{array}\right]}^{\top }$

C এর সহগুণকসমূহ :

$C_{11}=\left|\begin{array}{cc}2& 3\\ 1& 1\end{array}\right|=2-3=-1:C_{12}=-\left|\begin{array}{cc}1& 3\\ 3& 1\end{array}\right|=-(1-9)=8$

$C_{13}=\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 1\end{array}\right|=1-6=-5;C_{21}=-\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 1\end{array}\right|=-(1-2)=1$

$C_{22}=\left|\begin{array}{cc}0& 2\\ 3& 1\end{array}\right|=0-6=-6;C_{23}=-\left|\begin{array}{cc}0& 1\\ 3& 1\end{array}\right|=-(0-3)=3$

$C_{31}=\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 3\end{array}\right|=3-4=-1;C_{32}=-\left|\begin{array}{cc}0& 2\\ 1& 3\end{array}\right|=-(0-2)=2$

$C_{33}=\left|\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 2\end{array}\right|=0-1=-1$

Adj $C={\left[\begin{array}{ccc}-1& 8& -5\\ 1& -6& 3\\ -1& 2& -1\end{array}\right]}^T=\left[\begin{array}{ccc}-1& 1& -1\\ 8& -6& 2\\ -5& 3& -1\end{array}\right]$

$\therefore C^{-1}=\frac{1}{\left|C\right|}$. Adj $C=\frac{1}{-2}\left[\begin{array}{ccc}-1& 1& -1\\ 8& -6& 2\\ -5& 3& -1\end{array}\right]$

$=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{ccc}1& -1& 1\\ -8& 6& -2\\ 5& -3& 1\end{array}\right]$

নির্ণেয় $C^{-1}=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{ccc}1& -1& 1\\ -8& 6& -2\\ 5& -3& 1\end{array}\right]$