সৃজনশীলঃ ‘A(6,–2),B(6,5),C(−4,5) এবং D(−4,–2)…’ সিলেট বোর্ড ২০২৪ – স্থানাঙ্ক জ্যামিতি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

এখানে, $ABCD$ চতুর্ভুজের চারটি শীর্ষবিন্দু যথাক্রমে $A(6,–2),B(6,5),C(-4,5)$ এবং $D(-4,–2)$

$xy$ সমতলে বিন্দুগুলোর অবস্থান দেখানো হলো:

$\mathrm{AB}$ বাহুর দৈর্ঘ্য $=\sqrt{(6-6{)}^2+(-2-5{)}^2}$ একক

$=\sqrt{0+(-7{)}^2}$ একক $=\sqrt{49}$ একক $=7$ একক

$CD$ বাহুর দৈর্ঘ্য $=\sqrt{(-4+4{)}^2+(5+2{)}^2}$ একক

$=\sqrt{0+7^2}$ একক

$=\sqrt{49}$ একক $=7$ একক

$\therefore \mathrm{AB}$ বাহুর দৈর্ঘ্য $=\mathrm{CD}$ বাহুর দৈর্ঘ্য

আবার, $AD$ বাহুর দৈর্ঘ্য $=\sqrt{(6+4{)}^2+(-2+2{)}^2}$ একক

$=\sqrt{{10}^2+0}$ একক $=\sqrt{100}$ একক $=10$ একক

$BC$ বাহুর দৈর্ঘ্য $=\sqrt{(6+4{)}^2+(5-5{)}^2}$ একক

$=\sqrt{{10}^2+0}$ একক $=\sqrt{100}$ একক $=10$ একক

$AD$ বাহুর দৈর্ঘ্য $=BC$ বাহুর দৈর্ঘ্য

যেহেতু $ABCD$ চতুর্ভুজটির বিপরীত বাহুগুলো সমান সেহেতু চতুর্ভূজটি সামান্তরিক অথবা আয়তক্ষেত্র।

$BD$ কর্ণের দৈর্ঘ্য $=\sqrt{(6+4{)}^2+(5+2{)}^2}$ একক

$=\sqrt{{10}^2+7^2}$ একক $=\sqrt{100+49}$ একক

$=\sqrt{149}$ একক

$AC$ কর্ণের দৈর্ঘ্য $=\sqrt{(6+4{)}^2+(-2-5{)}^2}$ একক

$=\sqrt{{10}^2+(-7{)}^2}$ একক

$=\sqrt{100+49}$ একক $=\sqrt{149}$ একক

$\therefore$ কর্ণ $\mathrm{AC}=$ কর্ণ $BD$

এখন, ${\mathrm{BD}}^2=(\sqrt{149}{)}^2=149,{\mathrm{BC}}^2={10}^2=100$

এবং ${\mathrm{CD}}^2=7^2=49$

$\therefore {\mathrm{BC}}^2+{\mathrm{CD}}^2=100+49=149={\mathrm{BD}}^2$

অতএব, পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী $△BCD$ একটি সমকোণী ত্রিভুজ এবং $\angle BCD$ = এক সমকোণ।

যেহেতু, $ABCD$ চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো সমান। কর্ণদ্বয় সমান এবং একটি কোণ সমকোণ।

সুতরাং, $ABCD$ চতুর্ভুজটি একটি আয়তক্ষেত্র।

দেওয়া আছে, $ABCD$ চতুর্ভুজটির শীর্ষবিন্দুগুলো $A(6,–2),B(6,5),C(-4,5)$ এবং $D(-4,–2)$

$xy$ সমতলে বিন্দুগুলোর অবস্থান দেখানো হলো:

ধরি, $CD$ রেখা $x$-অক্ষকে $E$ বিন্দুতে ছেদ করে।

এখন, $CD$ রেখার সমীকরণ,

$\frac{y-5}{x+4}=\frac{5+2}{-4+4}$

বা, $\frac{y-5}{x+4}=\frac{7}{0}$.

বা, $7(x+4)=0$

বা, $x+4=0$

$\therefore x=-4$

$\therefore$ রেখাটি $x$-অক্ষকে $E$ বিন্দুতে ছেদ করলে $E$ বিন্দুর কোটি শূন্য।

অর্থাৎ, $y=0$

$\therefore E$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(-4,0)$

আবার, ধরি, $AD$ রেখা $y$ অক্ষকে $F$ বিন্দুতে ছেদ করে।

$\therefore \mathrm{AD}$ রেখার সমীকরণ, $\frac{y+2}{x-6}=\frac{-2+2}{6+4}$

বা, $\frac{y+2}{x-6}=\frac{0}{10}$

বা, $10y+20=0$

বা, $10y=-20$

$\therefore y=-2$

রেখাটি $y$-অক্ষকে $F$ বিন্দুতে ছেদ করলে $F$ বিন্দুর ভুজ শূন্য।

অর্থাৎ, $x=0$

$\therefore F$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(0,-2)$

এখন তৃতীয় চতুর্ভাগে, $E(-4,0),D(-4,-2),F(0,-2)$ এবং $O(0,0)$ বিন্দুগুলো দ্বারা গঠিত $EDFO$ চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল

$=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{ccccc}-4& -4& 0& 0& -4\\ 0& -2& -2& 0& 0\end{array}\right|$ বর্গ একক

$=\frac{1}{2}(8+8+0+0-0-0-0-0)$ বর্গ একক

$=\frac{1}{2}\times 16$ বর্গ একক $=8$ বর্গ একক

নির্ণেয় ক্ষেত্রফল $8$ বর্গ একক।