সৃজনশীলঃ ‘A=[a2b2c2a3b3c3a4−2ab4−2bc4−2c],P=[−323−1] এবং f(x)=5×2−11x…’ চট্টগ্রাম বোর্ড ২০২২ – ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে,

$P=\left[\begin{array}{cc}-3& 2\\ 3& -1\end{array}\right]$

$\therefore P^2=p\cdot p=\left[\begin{array}{cc}-3& 2\\ 3& -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}-3& 2\\ 3& -1\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{cc}9+6& -6-2\\ -9-3& 6+1\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{cc}15& -8\\ -12& 7\end{array}\right]$

এখন, $f\left(P\right)+6I_2$

$=5P^2-11P+6I_2$

$=5\left[\begin{array}{cc}15& -8\\ -12& 7\end{array}\right]-11\left[\begin{array}{cc}-3& 2\\ 3& -1\end{array}\right]+6\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{cc}75& -40\\ -60& 35\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc}-33& 22\\ 33& -11\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}6& 0\\ 0& 6\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{cc}75+33+6& -40-22+0\\ -60-33+0& 35+11+6\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{cc}114& -62\\ -93& 52\end{array}\right]$ Ans

$A=\left[\begin{array}{ccc}{a}^2& b^2& c^2\\ a^3& b^3& c^3\\ a^4-2a& b^4-2b& c^4-2c\end{array}\right]$

$\therefore \det \left(A\right)=|A|=\left|\begin{array}{ccc}{a}^2& b^2& c^2\\ a^3& b^3& c^3\\ a^4-2a& b^4-2b& c^4-2c\end{array}\right|$

$=\left|\begin{array}{ccc}{a}^2& b^2& c^2\\ a^3& b^3& c^3\\ a^4& b^4& c^4\end{array}\right|-\left|\begin{array}{ccc}{a}^2& b^2& c^2\\ a^3& b^3& c^3\\ 2a& 2b& 2c\end{array}\right|$

$=a^2{b}^2{c}^2\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ a& b& c\\ a^2& b^2& c^2\end{array}\right|-abc\left|\begin{array}{ccc}a& b& c\\ a^2& b^2& c^2\\ 2& 2& 2\end{array}\right|$

$=a^2{b}^2{c}^2\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ a& b& c\\ a^2& b^2& c^2\end{array}\right|-2abc\left|\begin{array}{ccc}a& b& c\\ a^2& b^2& c^2\\ 1& 1& 1\end{array}\right|$

$=a^2{b}^2{c}^2\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ a& b& c\\ a^2& b^2& c^2\end{array}\right|-2abc\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ a& b& c\\ a^2& b^2& c^2\end{array}\right|$

$=(a^2{b}^2{c}^2-2abc)\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ a& b& c\\ a^2& b^2& c^2\end{array}\right|$

$=abc(abc-2)\left|\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ a-b& b-c& c\\ a^2-b^2& b^2-c^2& c^2\end{array}\right|$

এবং$[c_1^{\prime }=c_1-c_2\text{ এবং }{c}_2^{\prime }=c_2-c_3]$

$=abc(abc-2)(a-b)(b-c)\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ a+b& b+c\end{array}\right|$

$=abc(abc-2)(a-b)(b-c)(b+c-a-b)$

$\therefore \det \left(A\right)=abc(abc-2)(a-b)(b-c)(c-a).$ (প্রমাণিত)