সৃজনশীলঃ ‘A=[aa+1−a+1−a],B=[21310234−5],X=[xyz] এবং C=[402]…’ ঢাকা বোর্ড ২০১৯ – ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $B=\left[\begin{array}{ccc}2& 1& 3\\ 1& 0& 2\\ 3& 4& -5\end{array}\right]$

$\therefore B^T={\left[\begin{array}{ccc}2& 1& 3\\ 1& 0& 2\\ 3& 4& -5\end{array}\right]}^T=\left[\begin{array}{ccc}2& 1& 3\\ 1& 0& 4\\ 3& 2& -5\end{array}\right]$

$\left|B^T\right|=\left[\begin{array}{ccc}2& 1& 3\\ 1& 0& 4\\ 3& 2& -5\end{array}\right]$

$=2(0-8)-1(-5-12)+3(2-0)$

$=-16+17+6=7\ne 0$

$B^T$ এর সহগুণকসমূহ :

$B_{11}^T=\left|\begin{array}{cc}0& 4\\ 2& -5\end{array}\right|=0-8=8$

$B_{12}^T=\left|\begin{array}{cc}1& 4\\ 3& -5\end{array}\right|=-(-5-12)=17$

$B_{13}^T=\left|\begin{array}{cc}1& 0\\ 3& 2\end{array}\right|=2-0=2$

$B_{21}^T=-\left|\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& -5\end{array}\right|=-(-5-6)=11$

$B_{22}^T=\left|\begin{array}{cc}2& 3\\ 3& -5\end{array}\right|=-10-9=-19$

$B_{23}^T=\left|\begin{array}{cc}2& 1\\ 3& 2\end{array}\right|=-(4-3)=-1$

$B_{31}^T=\left|\begin{array}{cc}1& 3\\ 0& 4\end{array}\right|=4-0=4$

$B_{32}^T=-\left|\begin{array}{cc}2& 3\\ 1& 4\end{array}\right|=-(8-3)=-5$

এবং $B_{33}^T=\left|\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 0\end{array}\right|=0-1=-1$

$\mathrm{Adj}{B}^T=\left[\begin{array}{ccc}{B}_{11}^T& B_{12}^T& B_{13}^T\\ B_{21}^T& B_{22}^T& B_{23}^T\\ B_{31}^T& B_{32}^T& B_{33}^T\end{array}\right]$

$={\left[\begin{array}{ccc}-8& 17& 2\\ 11& -19& -1\\ 4& -5& -1\end{array}\right]}^T=\left[\begin{array}{ccc}-8& 11& 4\\ 17& -19& -5\\ 2& -1& -1\end{array}\right]$

$B^T$ এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স, ${\left(B^T\right)}^{-1}=\frac{1}{\left|B^T\right|}\cdot \mathrm{Adj}{B}^T$

$=\frac{1}{7}\left[\begin{array}{ccc}-8& 11& 4\\ 17& -19& -5\\ 2& -1& -1\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{ccc}\frac{-8}{7}& \frac{11}{7}& \frac{4}{7}\\ \frac{17}{7}& \frac{-19}{7}& \frac{-5}{7}\\ \frac{2}{7}& \frac{-1}{7}& \frac{-1}{7}\end{array}\right]$

নির্ণেয় $B^T$ এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স $\left[\begin{array}{ccc}\frac{-8}{7}& \frac{11}{7}& \frac{4}{7}\\ \frac{17}{7}& \frac{-19}{7}& \frac{-5}{7}\\ \frac{2}{7}& \frac{-1}{7}& \frac{-1}{7}\end{array}\right]$

দেওয়া আছে, $B=\left[\begin{array}{ccc}2& 1& 3\\ 1& 0& 2\\ 3& 4& -5\end{array}\right],X=\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]$ এবং $C=\left[\begin{array}{c}4\\ 0\\ 2\end{array}\right]$

$BX=C$ হলে, $\left[\begin{array}{ccc}2& 1& 3\\ 1& 0& 2\\ 3& 4& -5\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}4\\ 0\\ 2\end{array}\right]$

বা, $\left[\begin{array}{c}2x+y+3z\\ x+0y+2z\\ 3x+4y-5z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}4\\ 0\\ 2\end{array}\right]$

$\therefore 2x+y+3z=4$

$x+0y+2z=0$

$3x+4y-5z=2$

$\therefore D=\left|\begin{array}{ccc}2& 1& 3\\ 1& 0& 2\\ 3& 4& -5\end{array}\right|$

$=2(0-8)-1(-5-6)+3(4-0)=-16+11+12=7$

$D_x=\left|\begin{array}{ccc}4& 1& 3\\ 0& 0& 2\\ 2& 4& -5\end{array}\right|$

$=4(0-8)-1(0-4)+3(0-0)$

$=-32+4+0=-28$

$D_y=\left|\begin{array}{ccc}2& 4& 3\\ 1& 0& 2\\ 3& 2& -5\end{array}\right|$

$=2(0-4)-4(-5-6)+3(2-0)$

$=-8+44+6=42$

$D_z=\left|\begin{array}{ccc}2& 1& 4\\ 1& 0& 0\\ 3& 4& 2\end{array}\right|$

$=2(0-0)-1(2-0)+4(4-0)$

$=0-2+16=14$

$x-\frac{D_x}{D}=\frac{-28}{7}=-4$

$y=\frac{D_y}{D}=\frac{42}{7}=6$ এবং $z=\frac{D_z}{D}=\frac{14}{7}=2$

নির্ণেয় সমাধান, $(x,y,z)=(-4,6,2)$