সৃজনশীলঃ ‘A=[a+bb+c(a+b)x+(b+c)ybcbx+cyax+bybx+cy0]…’ দিনাজপুর বোর্ড ২০২৫ – ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে,

$A=\left[\begin{array}{ccc}a+b& b+c& (a+b)x+(b+c)y\\ b& c& bx+cy\\ ax+by& bx+cy& 0\end{array}\right]$

এবং $f\left(x\right)=2x^2-5x+6$

$\therefore f\left(A\right)=2A^2-5A+6I$; যেখানে, $I=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$

$x=y=a=b=1$ এবং $c=2$ হলে,

$A=\left[\begin{array}{ccc}1+1& 1+2& (1+1)\cdot 1+(1+2)\cdot 1\\ 1& 2& 1\cdot 1+2\cdot 1\\ 1\cdot 1+1\cdot 1& 1\cdot 1+2\cdot 1& 0\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{ccc}2& 3& 5\\ 1& 2& 3\\ 2& 3& 0\end{array}\right]$

এখন, $A^2=A.A$

$=\left[\begin{array}{ccc}2& 3& 5\\ 1& 2& 3\\ 2& 3& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}2& 3& 5\\ 1& 2& 3\\ 2& 3& 0\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{ccc}4+3+10& 6+6+15& 10+9+0\\ 2+2+6& 3+4+9& 5+6+0\\ 4+3+0& 6+6+0& 10+9+0\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{ccc}17& 27& 19\\ 10& 16& 11\\ 7& 12& 19\end{array}\right]$

$\therefore f\left(A\right)=2\left[\begin{array}{ccc}17& 27& 19\\ 10& 16& 11\\ 7& 12& 19\end{array}\right]-5\left[\begin{array}{ccc}2& 3& 5\\ 1& 2& 3\\ 2& 3& 0\end{array}\right]+6\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{ccc}34& 54& 38\\ 20& 32& 22\\ 14& 24& 38\end{array}\right]-\left[\begin{array}{ccc}10& 15& 25\\ 5& 10& 15\\ 10& 15& 0\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}6& 0& 0\\ 0& 6& 0\\ 0& 0& 6\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{ccc}34-10+6& 54-15+0& 38-25+0\\ 20-5+0& 32-10+6& 22-15+0\\ 14-10+0& 24-15+0& 38-0+6\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{ccc}30& 39& 13\\ 15& 28& 7\\ 4& 9& 44\end{array}\right]$

নির্ণেয় $f\left(A\right)=\left[\begin{array}{ccc}30& 39& 13\\ 15& 28& 7\\ 4& 9& 44\end{array}\right]$.

দেওয়া আছে, 

$A=\left[\begin{array}{ccc}a+b& b+c& (a+b)x+(b+c)y\\ b& c& bx+cy\\ ax+by& bx+cy& 0\end{array}\right]$

$\therefore \det \left(A\right)=\left|\begin{array}{ccc}a+b& b+c& (a+b)x+(b+c)y\\ b& c& bx+cy\\ ax+by& bx+cy& 0\end{array}\right|$

$=\left|\begin{array}{ccc}a+b-b& b+c-c& ax+bx+by+cy-bx-cy\\ b& c& bx+cy\\ ax+by& bx+cy& 0\end{array}\right|$

$[\because r_1^{\prime }=r_1-r_2]$

$=\left|\begin{array}{ccc}a& b& ax+by\\ b& c& bx+cy\\ ax+by& bx+cy& 0\end{array}\right|$

$=\left|\begin{array}{ccc}a& b& ax+by-ax-by\\ b& c& bx+cy-bx-cy\\ ax+by& bx+cy& -a{x}^2+bxy-bxy-c{y}^2\end{array}\right|$

$[c_3^{\prime }=c_3-c_{1}x-c_{2}y]$

$=\left|\begin{array}{ccc}a& b& 0\\ b& c& 0\\ ax+by& bx+cy& -(a{x}^2+2bxy+c{y}^2)\end{array}\right|$

$=-(a{x}^2+2bxy+c{y}^2)\left|\begin{array}{cc}a& b\\ b& c\end{array}\right|$

[৩য় কলামের সাপেক্ষে বিস্তার করে]

$=-(a{x}^2+2bxy+c{y}^2)(ac-b^2)$

$\det \left(A\right)=0$ হলে,

হয়, $-(a{x}^2+2bxy+c{y}^2)=0$

বা, $a{x}^2+2bxy+c{y}^2=0$

বা, $a^2{x}^2+2abxy+ac{y}^2=0\times a$

[উভয়পক্ষকে এ দ্বারা গুণ করে]

অথবা, $ac-b^2=0$

বা, $\mathrm{ac}=b^2$

$\therefore b^2=ac$

কিন্তু ইহা গ্রহণযোগ্য নয়।

কারণ $b^2\ne ac$.

বা, $(ax{)}^2+2\cdot ax\cdot by+(by{)}^2-b^2{y}^2+ac{y}^2=0$

বা, $(ax+by{)}^2+ac{y}^2-b^2{y}^2=0$

$\therefore (ax+by{)}^2+(ac-b^2)y^2=0$ (দেখানো হলো)