সৃজনশীলঃ ‘A ও B…’ ফৌজদারহাট ক্যাডেট কলেজ ২০২৬ – নিউটনীয় বলবিদ্যা, পদার্থবিজ্ঞান, পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্র (এইচএসসি)

হ্যাঁ, কোনো স্থানের অভিকর্ষজ ত্বরণের ($g$) মান ঐ স্থানে খনিজ সম্পদ থাকার সম্ভাবনা নির্দেশ করে।

এর মূল কারণ হলো পৃথিবীর অভ্যন্তরীণ ঘনত্বের তারতম্য:

• ভারী খনিজের উপস্থিতি: মাটির নিচে লোহা, তামা বা নিকেলের মতো ভারী খনিজ পদার্থের খনি থাকলে, সেখানকার স্থানীয় ঘনত্ব স্বাভাবিকের চেয়ে বেশি হয়। ফলে ঐ স্থানে পৃথিবীর আকর্ষণ বল বেড়ে যায় এবং $g$-এর মান সামান্য বৃদ্ধি পায়।
• হালকা খনিজের উপস্থিতি: অন্যদিকে, মাটির নিচে খনিজ তেল, গ্যাস বা হালকা উপাদানের খনি থাকলে সেখানকার ঘনত্ব স্বাভাবিকের চেয়ে কম হয়। ফলে ঐ স্থানে $g$-এর মান সামান্য কমে যায়।

তাই, সংবেদনশীল যন্ত্রের (যেমন: গ্রাভিমিটার) সাহায্যে $g$-এর মানের এই সূক্ষ্ম পরিবর্তন বা তারতম্য পরিমাপ করে ভূ-তাত্ত্বিকরা মাটির নিচে থাকা খনিজ সম্পদের অবস্থান ও প্রকৃতি সম্পর্কে ধারণা লাভ করেন।

উদ্দীপকের চিত্র অনুযায়ী, $P$ বিন্দুটি $A$ এবং $B$ গ্রহের সংযোজক সরলরেখার মধ্যবিন্দু। এখন এই $P$ বিন্দুতে উভয় গ্রহের জন্য সৃষ্ট লব্ধি মহাকর্ষীয় প্রাবল্য নির্ণয় করি।

দেওয়া আছে,

$A$ গ্রহের ভর, $M_A=6\times {10}^{24}\text{ kg}$
$B$ গ্রহের ভর, $M_B=7.4\times {10}^{22}\text{ kg}$
গ্রহ দুটির কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব, $d=1.5\times {10}^6\text{ km}=1.5\times {10}^9\text{ m}$
মহাকর্ষীয় ধ্রুবক, $G=6.673\times {10}^{-11}{\text{ N m}}^2{\text{ kg}}^{-2}$

যেহেতু $P$ বিন্দুটি সংযোজক রেখার ঠিক মাঝখানে অবস্থিত, তাই উভয় গ্রহ হতে $P$ বিন্দুর দূরত্ব সমান হবে।

দূরত্ব, $r=\frac{d}{2}=\frac{1.5\times {10}^9}{2}=7.5\times {10}^8\text{ m}$

আমরা জানি, মহাকর্ষীয় প্রাবল্য $E=\frac{GM}{r^2}$

• $A$ গ্রহের জন্য $P$ বিন্দুতে মহাকর্ষীয় প্রাবল্য ($E_A$) :

$E_A=\frac{G{M}_A}{r^2}$

বা, $E_A=\frac{6.673\times {10}^{-11}\times 6\times {10}^{24}}{(7.5\times {10}^8{)}^2}$

বা, $E_A=\frac{40.038\times {10}^{13}}{5.625\times {10}^{17}}$

বা, $E_A=7.118\times {10}^{-4}{\text{ N kg}}^{-1}$

এই প্রাবল্যের দিক হবে $A$ গ্রহের কেন্দ্রের দিকে।

• $B$ গ্রহের জন্য $P$ বিন্দুতে মহাকর্ষীয় প্রাবল্য ($E_B$) :

$E_B=\frac{G{M}_B}{r^2}$

বা ,$E_B=\frac{6.673\times {10}^{-11}\times 7.4\times {10}^{22}}{(7.5\times {10}^8{)}^2}$

বা, $E_B=\frac{49.38\times {10}^{11}}{5.625\times {10}^{17}}$

বা, $E_B=8.779\times {10}^{-6}{\text{ N kg}}^{-1}$

বা, $E_B=0.08779\times {10}^{-4}{\text{ N kg}}^{-1}$

এই প্রাবল্যের দিক হবে $B$ গ্রহের কেন্দ্রের দিকে।

• লব্ধি প্রাবল্য ($E$) নির্ণয় : 

যেহেতু $E_A$ এবং $E_B$ প্রাবল্যদ্বয় একই রেখা বরাবর কিন্তু পরস্পর বিপরীত দিকে ক্রিয়া করছে,

তাই $P$ বিন্দুতে লব্ধি প্রাবল্য হবে এদের বিয়োগফলের সমান।

এখানে, $E_A>E_B$, তাই:

$E=E_A-E_B$

বা, $E=(7.118\times {10}^{-4})-(0.08779\times {10}^{-4})$

বা, $E=7.03\times {10}^{-4}{\text{ N kg}}^{-1}$

$P$ বিন্দুতে লব্ধি মহাকর্ষীয় প্রাবল্য $7.03\times {10}^{-4}{\text{ N kg}}^{-1}$ এবং এর দিক হবে বৃহত্তর ভরের গ্রহ $A$ এর দিকে।

কোনো গ্রহপৃষ্ঠ থেকে একটি বস্তুকে মহাশূন্যে পাঠাতে হলে, বস্তুটিকে ওই গ্রহের মহাকর্ষীয় টান অতিক্রম করতে হবে। এর জন্য প্রয়োজনীয় ন্যূনতম গতিশক্তি হলো বস্তুটির মুক্তিবেগের সমান গতিশক্তি।

আমরা জানি, মুক্তিবেগ $v_e=\sqrt{\frac{2GM}{R}}$
অতএব, মহাশূন্যে পাঠাতে প্রয়োজনীয় গতিশক্তি,

$E_k=\frac{1}{2}m{v}_e^2=\frac{1}{2}m\left(\frac{2GM}{R}\right)=\frac{GMm}{R}$

উদ্দীপক হতে প্রাপ্ত তথ্য,

মহাকর্ষীয় ধ্রুবক, $G=6.673\times {10}^{-11}{\text{ N m}}^2{\text{ kg}}^{-2}$
নভোযানের ভর, $m=1000\text{ kg}$
$A$ গ্রহের ভর, $M_A=6\times {10}^{24}\text{ kg}$
$A$ গ্রহের ব্যাসার্ধ, $R_A=6400\text{ km}=6.4\times {10}^6\text{ m}$
$B$ গ্রহের ভর, $M_B=7.4\times {10}^{22}\text{ kg}$
$B$ গ্রহের ব্যাসার্ধ, $R_B=1600\text{ km}=1.6\times {10}^6\text{ m}$

• $A$ গ্রহের ক্ষেত্রে প্রয়োজনীয় গতিশক্তি ($E_A$) নির্ণয় :

$E_A=\frac{G{M}_{A}m}{R_A}$

বা, $E_A=\frac{6.673\times {10}^{-11}\times 6\times {10}^{24}\times 1000}{6.4\times {10}^6}$ (মান বসিয়ে পাই)

বা, $E_A=\frac{40.038\times {10}^{16}}{6.4\times {10}^6}$

বা, $E_A\approx 6.256\times {10}^{10}\text{ J}$

• $B$ গ্রহের ক্ষেত্রে প্রয়োজনীয় গতিশক্তি ($E_B$) নির্ণয় :

$E_B=\frac{G{M}_{B}m}{R_B}$

বা, $E_B=\frac{6.673\times {10}^{-11}\times 7.4\times {10}^{22}\times 1000}{1.6\times {10}^6}$ (মান বসিয়ে পাই)

বা, $E_B=\frac{49.38\times {10}^{14}}{1.6\times {10}^6}$

বা, $E_B\approx 3.086\times {10}^9\text{ J}$

• প্রাপ্ত মানগুলো তুলনা করে পাই :

$6.256\times {10}^{10}\text{ J}>3.086\times {10}^9\text{ J}$

অর্থাৎ, $E_A>E_B$

গাণিতিক বিশ্লেষণ থেকে স্পষ্টতই প্রতীয়মান হয় যে, $A$ গ্রহের মহাকর্ষীয় ক্ষেত্র অত্যন্ত শক্তিশালী হওয়ায়, $A$ গ্রহপৃষ্ঠ হতে $1000\text{ kg}$ ভরের নভোযানকে মহাশূন্যে পাঠাতে $B$ গ্রহের তুলনায় বেশি গতিশক্তির প্রয়োজন হবে।