সৃজনশীলঃ ‘A ও B…’ যশোর বোর্ড ২০২৪ – মহাকর্ষ ও অভিকর্ষ, পদার্থবিজ্ঞান, পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্র (এইচএসসি)

প্রাকৃতিক সম্পদ অনুসন্ধান বলতে ভূপৃষ্ঠের অভ্যন্তরে লুক্কায়িত তেল, গ্যাস, কয়লা, পেট্রোলিয়াম, খনিজ পদার্থ ইত্যাদি আহরণকে বুঝায়। পৃথিবীর আকৃতি, আহ্নিক গতি ও ঘনত্বের তারতম্যহেতু বিভিন্ন স্থানে ৪ এর মান বিভিন্ন হয়। ইয়টভস ব্যালেন্সের সাহায্যে g এর মানের সূক্ষ্মাতিসূক্ষ্ম পরিবর্তন পরিমাপ করে কোনো স্থানে জীবাশ্ম জ্বালানি ও খনিজ পদার্থের অবস্থানের ধারণা করা যায়। এর জন্য ভূপৃষ্ঠের অভ্যন্তরে কূপ খনন থেকে শুরু করে প্রাকৃতিক সম্পদ আহরণ পর্যন্ত বিভিন্ন ক্ষেত্রে নিউটনের মহাকর্ষ সূত্র ব্যবহৃত হয়।

ভূ-পৃষ্ঠ থেকে । গভীরতায় নিম্নোক্ত সূত্র ব্যবহার করতে হয়,

$g^{\prime }=g(1-\frac{h}{R}),[g^{\prime }<g]$....................................(১)

যেখানে, g = পৃথিবীপৃষ্ঠে অভিকর্ষজ ত্বরণ = 9.8 m s^-2

g' = ভূপৃষ্ঠ থেকে h গভীরতায় অভিকর্ষজ ত্বরণ

R = পৃথিবীর গড় ব্যাসার্ধ

A ভরের জন্য P বিন্দুতে প্রাবল্য ${\overrightarrow{E}}_A$ এবং B ভরের জন্য P বিন্দুতে প্রাবল্য ${\overrightarrow{E}}_B$

মহাকর্ষীয় প্রাবল্য আকর্ষণধর্মী হওয়ায় ${\overrightarrow{E}}_A$ এবং ${\overrightarrow{E}}_B$ বিপরীতমুখী।

$\therefore$ লব্ধি প্রাবল্য, $E={\overrightarrow{E}}_A+{\overrightarrow{E}}_B=E_A-E_B$

দেওয়া আছে, $d=1.5\times {10}^6\mathrm{km}=1.5\times {10}^{9}m$

আমরা জানি, কোনো বিন্দুতে প্রাবল্য, $E=\frac{\mathrm{GM}}{R^2}$

$\begin{array}{cc}\therefore E_A& =\frac{G_A}{(AP{)}^2}\dots \dots \dots .[\mathrm{AP}=\frac{d}{2}]\\ \therefore E_B& =\frac{G_B}{(BP{)}^2}\dots \dots \dots .[BP=\frac{d}{2}]\end{array}$

∴ লব্ধি প্রাবল্য, E = E_A - E_B

$\begin{array}{cc}& =\frac{{\mathrm{GM}}_A}{{\left({\mathrm{AP}}^{\prime }\right)}^2}-\frac{{\mathrm{GM}}_B}{(\mathrm{BP}{)}^2}=\frac{{\mathrm{GM}}_A}{{\left(\frac{d}{2}\right)}^2}-\frac{{\mathrm{GM}}_B}{{\left(\frac{d}{2}\right)}^2}\\ & =\frac{4{\mathrm{GM}}_A}{d^2}-\frac{4{\mathrm{GM}}_B}{d^2}=\frac{4G}{d^2}(M_A-M_B)\\ & =\frac{4\times 0.673\times {10}^{-11}}{{(1.5\times {10}^9)}^2}(6\times {10}^{24}-7.4\times {10}^{22})\\ & =7.03\times {10}^{-4}{\mathrm{Nkg}}^{-1}\end{array}$

সুতরাং P বিন্দুতে লব্ধি মহাকর্ষীয় প্রাব্যলের মান 7.03 × 10^-4 N kg^-1 এবং দিক PA বরাবর।

দেওয়া আছে, $A$ গ্রহের ভর, $M_A=6\times {10}^{24}\mathrm{kg}$

$A$ গ্রহের ব্যাসার্ধ, $R_A=6400\mathrm{km}=6.4\times {10}^{6}m$

$B$ গ্রহের ভর, $M_B=7.4\times {10}^{22}\mathrm{kg}$
B গ্রহের ব্যাসার্ধ, $R_B=1600\mathrm{km}=1.6\times {10}^{6}m$

নভোযানের ভর, $m=1000\mathrm{kg}$

আমরা জানি, মহাকর্ষ বলের দরুন গ্রহপৃষ্ঠ হতে অসীমে পাঠাতে গতিশক্তি = কৃতকাজ

$W={\int }_{x=R}^{x=\infty }F\cdot dx={\int }_{x=R}^{x=\infty }\frac{GMm}{x^2}\cdot dx$

এখন, এ গ্রহের জন্য কাজ,

$\begin{array}{cc}{W}_A={\int }_{x=R_A}^{x=\infty }\frac{G{M}_{A}m}{x^2}\cdot dx& =G{M}_{A}m{[-\frac{1}{x}]}_{R_A}^{\infty }\\ & =G{M}_{A}m[-\frac{1}{\infty }+\frac{1}{R_A}]=\frac{G_{A}m}{B_A}\\ \therefore W_A& =\frac{6.673\times {10}^{-11}\times 6\times {10}^{24}\times 1000}{6.4\times {10}^6}=6.256\times {10}^{10}J\end{array}$

অনুরূপভাবে, $W_B=\frac{{\mathrm{GM}}_{B}m}{R_B}=\frac{6.673\times {10}^{-11}\times 7.4\times {10}^{22}\times 1000}{1.6\times {10}^6}$

= 3.086 × 10⁹ J

এখানে, W_A > W_B

সুতরাং A গ্রহপৃষ্ঠ হতে 1000 kg ভরের নভোযানকে মহাশূন্যে পাঠাতে B অপেক্ষা বেশি গতিশক্তি প্রয়োজন।